Bài viết trình bày các quy tắc tính đạo hàm, giúp việc tính đạo hàm của một hàm số phức tạp trở nên dễ dàng hơn bằng cách quy về tính đạo hàm của các hàm số đơn giản.
I. Kiến thức cần nắm:
1. Quy tắc tính đạo hàm:
a. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số:
• \(({u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n})’\) \( = {u_1}’ \pm {u_2}’ \pm … \pm {u_n}’.\)
• \((k.u(x))’ = k.u'(x).\)
• \((uv)’ = u’v + uv’.\)
• \((uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’.\)
• \(({u^n}(x))’ = n{u^{n – 1}}(x).u'(x).\)
• \(\left( {\frac{c}{{u(x)}}} \right)’ = – \frac{{c.u'(x)}}{{{u^2}(x)}}.\)
• \({\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)}’\) \( = \frac{{u'(x)v(x) – v'(x)u(x)}}{{{v^2}(x)}}.\)
b. Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số \(y = f(u(x)) = f(u)\) với \(u = u(x).\) Khi đó: \(y{‘_x} = y{‘_u}.u{‘_x}.\)
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản:
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \[(c)’ = 0\] | |
| \[(x)’ = 1\] | |
| \[({x^\alpha })’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\] | \[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’\] |
| \[\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\] | \[\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\] |
| \[\left( {\sqrt[n]{x}} \right)’ = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n – 1}}}}}}\] | \[\left( {\sqrt[n]{u}} \right)’ = \frac{{u’}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n – 1}}}}}}\] |
| \[(\sin x)’ = \cos x\] | \[(\sin u)’ = u’.\cos u\] |
| \[(\cos x)’ = – \sin x\] | \[(\cos u)’ = – u’\sin u\] |
| \[(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\] | \[\left( {\tan u} \right)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}}\] |
| \[(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\] | \[\left( {\cot u} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}}\] |
II. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x + 1.\)
b. \(y = – {x^3} + 3x + 1.\)
c. \(y = \frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1.\)
d. \(y = – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1.\)
e. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 3}}.\)
f. \(y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x + 1}}.\)
a. \(y’ = {\left( {{x^3} – 3{x^2} + 2x + 1} \right)’}\) \( = 3{x^2} – 6x + 2.\)
b. \(y’ = {\left( { – {x^3} + 3x + 1} \right)’}\) \( = – 3{x^2} + 3.\)
c. \(y’ = {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – {x^2} + 1} \right)’}\) \( = {x^3} – 2x.\)
d. \(y’ = {\left( { – 2{x^4} + \frac{3}{2}{x^2} + 1} \right)’}\) \( = – 8{x^3} + 3x.\)
e. \(y’ = \) \(\frac{{(2x + 1)'(x – 3) – (x – 3)'(2x + 1)}}{{{{(x – 3)}^2}}}\) \( = \frac{{ – 7}}{{{{(x – 3)}^2}}}.\)
f. \(y’ = \) \(\frac{{({x^2} – 2x + 2)'(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)(x + 1)’}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{(2x – 2)(x + 1) – ({x^2} – 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} + 2x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Ví dụ 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}.\)
b. \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right).\)
c. \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right).\)
d. \(y = {\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^3}.\)
e. \(y = {(x + 2)^3}{(x + 3)^2}.\)
a. \(y’ = 2({x^7} + x)({x^7} + x)’\) \( = 2({x^7} + x)(7{x^6} + 1).\)
b. Ta có: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 – 3{x^2}} \right)\) \( = – 3{x^4} + 2{x^2} + 5\) \( \Rightarrow y’ = – 12{x^3} + 4x.\)
c. Ta có: \(y = {x^2}\left( {2x + 1} \right)\left( {5x – 3} \right)\) \( = 10{x^4} – {x^3} – 3{x^2}\) \( \Rightarrow y’ = 40{x^3} – 3{x^2} – 6x.\)
d. \(y’ = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)’\) \( = 3{\left( {4x + \frac{5}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {4 – \frac{{10}}{{{x^3}}}} \right).\)
e. \(y’ = 3{({x^2} + 5x + 6)^2} + 2(x + 3){(x + 2)^3}.\)
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(f'(x) \ge 0\), biết:
a. \(f(x) = x\sqrt {4 – {x^2}} .\)
b. \(f(x) = x – 2\sqrt {{x^2} + 12} .\)
c. \(f(x) = \sqrt[4]{{{x^2} + 1}} – \sqrt x .\)
a. Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right].\)
Ta có: \(f'(x) = \sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}\) \( = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.\)
Do đó: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow 4 – 2{x^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow – \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 .\)
b. Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}\) \( = \frac{{\sqrt {{x^2} + 12} – 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 12} }}.\)
Suy ra: \(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 12} \ge 2x\) \((1).\)
• Với \(x < 0\) thì \((1)\) luôn đúng.
• Với \(x \ge 0\) thì \((1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
{x^2} + 12 \ge 4{x^2}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 \le x \le 2.\)
Vậy bất phương trình \(f'(x) \ge 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(x \le 2.\)
c. Tập xác định: \(D = \left[ {0; + \infty } \right).\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{x}{{2\sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}}} – \frac{1}{{2\sqrt x }}.\)
\(f'(x) \ge 0\) \( \Leftrightarrow x\sqrt x \ge \sqrt[4]{{{{({x^2} + 1)}^3}}}\) \( \Leftrightarrow {x^6} \ge {({x^2} + 1)^3}\) \( \Leftrightarrow {x^2} \ge {x^2} + 1\), bất phương trình này vô nghiệm.
[ads]
Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(y = \sqrt {2{x^2} + 3x + 1} .\)
b. \(y = \sqrt[5]{{\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2}}.\)
c. \(y = \sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } .\)
d. \(y = \tan ({\sin ^2}3x) + \sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} .\)
e. \(y = \sqrt[3]{{\sin (\tan x) + \cos (\cot x)}}.\)
a. \(y’ = \frac{{(2{x^2} + 3x + 1)’}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}\) \( = \frac{{4x + 3}}{{2\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} }}.\)
b. \(y’ = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)’\) \( = \frac{1}{{5.\sqrt[5]{{{{(\sqrt {2{x^2} + 1} + 3x + 2)}^4}}}}}\)\((\frac{{2x}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} + 3).\)
c. \(y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{2\sin (4x – 2) – \frac{1}{{2\sqrt x }}\sin \sqrt x }}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}\) \( = \frac{{4\sqrt x \sin (4x – 2) – \sin \sqrt x }}{{4\sqrt {2x{{\sin }^2}(2x – 1) + x\cos \sqrt x } }}.\)
d. \(y’ = [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]({\sin ^2}3x)’\) \( + \frac{{[{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3]’}}{{2\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}\) \( = 3 [1 + {\tan ^2}({\sin ^2}3x)]\sin 6x\) \( + \frac{{6{x^2}{\rm{[}}1 + {{\cot }^2}(1 – 2{x^3}){\rm{]}}\cot (1 – 2{x^3})}}{{\sqrt {{{\cot }^2}(1 – 2{x^3}) + 3} }}.\)
e. \(y’ = \frac{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]’}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}\) \( = \frac{{(1 + {{\tan }^2}x)\cos (\tan x) + (1 + {{\cot }^2}x)\sin (\cot x)}}{{3\sqrt {{{[\sin (\tan x) + \cos (\cot x)]}^2}} }}.\)
Ví dụ 5. Tính đạo hàm các hàm số sau:
a. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 3x + 1\:khi\:x /> 1\\
2x + 2\:khi\:x \le 1{\rm{ }}
\end{array} \right.\)
b. \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
a.
• Với \(x /> 1\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2} – 3x + 1\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x – 3.\)
• Với \(x < 1\) \( \Rightarrow f(x) = 2x + 2\) \( \Rightarrow f'(x) = 2.\)
• Với \(x = 1\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} – 3x + 1} \right)\) \( = – 1 \ne f(1)\) \( \Rightarrow \) hàm số không liên tục tại \(x = 1\), suy ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
2x – 3\:khi\:x /> 1\\
2\:khi\:x < 1
\end{array} \right.\)
b.
• Với \(x \ne 0\) \( \Rightarrow f(x) = {x^2}\cos \frac{1}{{2x}}\) \( \Rightarrow f'(x) = 2x\cos \frac{1}{{2x}} – \frac{1}{2}\cos \frac{1}{{2x}}.\)
• Với \(x = 0\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x) – f(0)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cos \frac{1}{{2x}} = 0\) \( \Rightarrow f'(0) = 0.\)
Vậy \(f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)\cos \frac{1}{{2x}}\:khi\:x \ne 0\\
0\:khi\:x = 0
\end{array} \right.\)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc \(x.\)
a. \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
b. \(y = {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) \( + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right) + {\cos ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} + x} \right)\) \( – 2{\sin ^2}x.\)
a. Ta có: \(y = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3}\) \( + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = 1.\) Suy ra: \( y’ = 0.\)
b. Ta có: \(y = 2 + \frac{1}{2}{\rm{[}}\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)\) \( + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} – 2x} \right) + \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3} + 2x} \right)]\) \( – 2{\sin ^2}x\) \( = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}( – \cos 2x – \cos 2x) – 2{\sin ^2}x = 1.\) Suy ra: \(y’ = 0.\)
Ví dụ 7. Tìm \(a,b\) để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – x + 1{\rm{ }}\:khi\:x \le 1\\
– {x^2} + ax + b\:khi\:x /> 1
\end{array} \right.\) có đạo hàm trên \(R.\)
Với \(x \ne 1\) thì hàm số luôn có đạo hàm.
Do đó hàm số có đạo hàm trên \(R\) khi và chỉ khi hàm số có đạo hàm tại \(x = 1.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b – 1.\)
Hàm số liên tục trên \(R\) \( \Leftrightarrow a + b – 1 = 1\) \( \Leftrightarrow a + b = 2.\)
Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = 1.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}}\) \( = a – 2.\)
Nên hàm số có đạo hàm trên \(R\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}
a + b = 2\\
a – 2 = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = – 1
\end{array} \right.\)
Ví dụ 8. Tìm \(m\) để các hàm số:
a. \(y = (m – 1){x^3} – 3(m + 2){x^2}\) \( – 6(m + 2)x + 1\) có \(y’ \ge 0\), \(\forall x \in R.\)
b. \(y = \frac{{m{x^3}}}{3} – m{x^2} + (3m – 1)x + 1\) có \(y’ \le 0\), \(\forall x \in R.\)
a. Ta có: \(y’ = 3\left[ {(m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2)} \right].\)
Do đó: \(y’ \ge 0\) \( \Leftrightarrow (m – 1){x^2} – 2(m + 2)x – 2(m + 2) \ge 0\) \((1).\)
• Với \(m = 1\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow – 6x – 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \le – 1.\)
• Với \(m \ne 1\) thì \((1)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m – 1 /> 0\\
\Delta ‘ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m /> 1\\
(m + 1)(4 – m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m \ge 4.\)
Vậy \(m \ge 4.\)
b. Ta có: \(y’ = m{x^2} – 2mx + 3m – 1.\)
Nên \(y’ \le 0\) \( \Leftrightarrow m{x^2} – 2mx + 3m – 1 \le 0\) \((2).\)
• Với \(m = 0\) thì \((2)\) trở thành: \( – 1 \le 0\) (luôn đúng).
• Với \(m \ne 0\) khi đó \((2)\) đúng với mọi \(x \in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = m < 0\\
\Delta’ \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m(1 – 2m) \le 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
1 – 2m \ge 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m < 0.\)
Vậy \(m \le 0.\)
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
