Bài viết hướng dẫn phương pháp giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về phương trình tích thông qua các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.
Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách, nhóm các số hạng hợp lý để tạo ra nhân tử chung và đưa phương trình lượng giác về dạng tích:
\(A.B.C…. = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0\\
C = 0\\
……
\end{array} \right.\)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(1 + \sin x + \cos x\) \( + \sin 2x + \cos 2x = 0.\)
b. \(\left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\) \( = \sin 2x – \sin x.\)
c. \(\cos 2x + 3\sin 2x\) \( + 5\sin x – 3\cos x = 3.\)
d. \(2\sin x\left( {1 + \cos 2x} \right) + \sin 2x\) \( = 1 + 2\cos x.\)
e. \(\sin 2x – \cos 2x\) \( + 3\sin x – \cos x – 1 = 0.\)
f. \(\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right)\cos x\) \( + 2\cos 2x – \sin x = 0.\)
a. \(PT \Leftrightarrow \sin x + \cos x\) \( + 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0.\)
b. \(PT \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {2\sin x + \cos x} \right)\) \( = \sin x\left( {2\cos x – 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x – 1} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0.\)
c. \(PT \Leftrightarrow 1 – 2{\sin ^2}x + 6\sin x\cos x\) \( + 5\sin x – 3\cos x = 3\)
\( \Leftrightarrow 3\cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( – \left( {2{{\sin }^2}x – 5\sin x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {3\cos x – \sin x + 2} \right) = 0.\)
d. \(PT \Leftrightarrow 4\sin x{\cos ^2}x + 2\sin x\cos x\) \( = 1 + 2\cos x\) \( \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\sin x\cos x – 1} \right) = 0.\)
e. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x\cos x\) \( – \left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right) + 3\sin x\) \( – \cos x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( + 2{\sin ^2}x + 3\sin x – 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {2\sin x – 1} \right)\) \( + \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {2\sin x – 1} \right)\left( {\cos x + \sin x + 2} \right) = 0.\)
f. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + \cos 2x\cos x\) \( + 2\cos 2x – \sin x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\) \( + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x\cos 2x\) \( + \cos 2x\left( {\cos x + 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0.\)
Ví dụ 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.\)
b. \(\tan 2x + \cot x = 8{\cos ^2}x.\)
c. \(2\tan x + \cot x\) \( = \sqrt 3 + \frac{2}{{\sin 2x}}.\)
d. \(\cos 2x + \cos x\left( {2{{\tan }^2}x – 1} \right) = 2.\)
e. \(\frac{1}{{\tan x + \cot 2x}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\cot x – 1}}.\)
f. \(\cot x – 1 = \frac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}}\) \( + {\sin ^2}x – \frac{1}{2}\sin 2x.\)
a. Điều kiện: \(\sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}.\)
\(PT \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right)\) \( = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x + \cos x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = – 1\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\)
Giải và kết hợp với điều kiện thu được: \(x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) hay \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\) \((k∈Z).\)
b. Điều kiện: \(\cos 2x \ne 0\), \(\sin x \ne 0.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 8{\cos ^2}x\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sin 2x\sin x + \cos 2x\cos x}}{{\cos 2x\sin x}}\) \( = 8{\cos ^2}x\)
\( \Leftrightarrow \cos x\left( {1 – 8\cos x\cos 2x\sin x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\sin 4x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
Đáp án: \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \) hoặc \(x = \frac{\pi }{{24}} + k\frac{\pi }{2}\) hoặc \(x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2}\) \((k∈Z).\)
c. Điều kiện: \(\sin x \ne 0\), \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) \( = \sqrt 3 + \frac{1}{{\sin x\cos x}}\) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\) \( = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1\)
\( \Leftrightarrow 1 + {\sin ^2}x = \sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) \( \Leftrightarrow \sin x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\left( {{\rm{loại}}} \right)\\
\sin x = \sqrt 3 \cos x
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \((k∈Z).\)
d. Điều kiện: \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x + 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} – \cos x = 2\) \( \Leftrightarrow 2\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x}} + \cos 2x – 1\) \( = 1 + \cos x\)
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x\left( {\frac{1}{{\cos x}} – 1} \right)\) \( = 1 + \cos x\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\) \(\left[ {2{{\left( {1 – \cos x} \right)}^2} – \cos x} \right] = 0.\)
Đáp số: \(x = \pi + k2\pi \), \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \) \((k∈Z).\)
e. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos x.\sin 2x.\sin x\left( {\tan x + \cot 2x} \right) \ne 0\\
\cot x \ne 1
\end{array} \right.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos 2x}}{{\sin 2x}}}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 \left( {\cos x – \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x}}{{\sin x}} – 1}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{\cos x\sin 2x}}{{\cos x}} = \sqrt 2 \sin x\)
\( \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x – \sqrt 2 } \right) = 0.\)
Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm của phương trình là: \(x = – \frac{\pi }{4} + k2\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)
f. Điều kiện: \(\cos x \ne 0\), \(\sin x \ne 0\), \(\tan x \ne – 1.\)
\(PT \Leftrightarrow \frac{{\cos x – \sin x}}{{\sin x}}\) \( = \frac{{\cos x\left( {{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right)}}{{\cos x + \sin x}}\) \( + {\sin ^2}x – \sin x\cos x\)
\( \Leftrightarrow \left( {\cos x – \sin x} \right)\) \(\left( {\frac{1}{{\sin x}} – \cos x + \sin x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x = 0\\
{\sin ^2}x – \sin x\cos x – 1 = 0
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan x = 1\\
2{\tan ^2}x – \tan x + 1 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) \((k∈Z).\)
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^5}x + {{\cos }^5}x} \right).\)
b. \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^8}x + {{\cos }^8}x} \right).\)
c. \({\sin ^8}x + {\cos ^8}x\) \( = 2\left( {{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x} \right) + \frac{5}{4}\cos 2x.\)
a. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( = {\cos ^3}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^3}x – {{\cos }^3}x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = 0
\end{array} \right.\)
b. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^6}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( – {\cos ^6}x\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\sin }^6}x – {{\cos }^6}x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = \pm 1
\end{array} \right.\)
c. \(PT \Leftrightarrow {\sin ^8}x\left( {1 – 2{{\sin }^2}x} \right)\) \( + {\cos ^8}x\left( {1 – 2{{\cos }^2}x} \right)\) \( – \frac{5}{4}\cos 2x = 0\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {{{\cos }^8}x – {{\sin }^8}x + \frac{5}{4}} \right) = 0.\)
Ví dụ 4. Giải các phương trình lượng giác sau:
a. \(3 – \tan x\left( {\tan x + 2\sin x} \right)\) \( + 6\cos x = 0.\)
b. \(3\tan 3x + \cot 2x\) \( = 2\tan x + \frac{2}{{\sin 4x}}.\)
c. \(\sin 2x\left( {\cos x + 3} \right)\) \( – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 3\sqrt 3 \cos 2x\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right)\) \( – 3\sqrt 3 = 0.\)
d. \(8\sqrt 2 {\cos ^6}x + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x\) \( – 6\sqrt 2 {\cos ^4}x – 1 = 0.\)
e. \(3\left( {\cot x – \cos x} \right)\) \( – 5\left( {\tan x – \sin x} \right) = 2.\)
a. Điều kiện: \(\cos x \ne 0.\)
\( \Leftrightarrow 3 – \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\left( {\frac{{\sin x + 2\sin x\cos x}}{{\cos x}}} \right)\) \( + 6\cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)\) \( + 6{\cos ^3}x = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right)\) \( – {\sin ^2}x\left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {1 + 2\cos x} \right)\left( {3{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x} \right) = 0.\)
Đáp số: \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in Z} \right).\)
b. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos 3x \ne 0\\
\cos x \ne 0\\
\sin 4x \ne 0\\
\sin 2x \ne 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{3}\), \(x \ne k\frac{\pi }{4}.\)
\(PT \Leftrightarrow 2\left( {\tan 3x – \tan x} \right)\) \( + \left( {\tan 3x + \cot 2x} \right) = \frac{2}{{\sin 4x}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2\sin 2x}}{{\cos 3x\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\cos 3x\sin 2x}}\) \( = \frac{2}{{\sin 4x}}\)
\( \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + 2\cos 2x\cos x\) \( = 2\cos 3x\) \( \Leftrightarrow 4\sin 4x\sin x + \cos 3x + \cos x\) \( = 2\cos 3x\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x\sin x\left( {4\cos x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{4}.\)
c. \(PT \Leftrightarrow 2\sin x{\cos ^2}x + 6\sin x\cos x\) \( – 2\sqrt 3 {\cos ^3}x – 6\sqrt 3 {\cos ^2}x\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\) \( + 6\cos x\left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\) \( + 8\left( {\sqrt 3 \cos x – \sin x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sin x – \sqrt 3 \cos x} \right)\)\(\left( {2{{\cos }^2}x + 6\cos x – 8} \right) = 0.\)
d. \(PT \Leftrightarrow 2\sqrt 2 {\cos ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x – 3\cos x} \right)\) \( + 2\sqrt 2 {\sin ^3}x\sin 3x – 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {2\cos x\cos 3x} \right)\) \( + 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x\sin 3x} \right) = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x + \cos 4x} \right)\) \( + \left( {1 – \cos 2x} \right)\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right) = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow 2\left( {\cos 2x + \cos 2x\cos 4x} \right)\) \( = \sqrt 2 \Leftrightarrow \cos 2x{\cos ^2}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
\( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{8} + k\pi \) \((k∈Z).\)
e. Điều kiện: \(\sin x \ne 0\), \(\cos x \ne 0.\)
\(PT \Leftrightarrow 3\left( {\cot x – \cos x + 1} \right)\) \( – 5\left( {\tan x – \sin x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 3\left( {\frac{{\cos x – \sin x\cos x + \sin x}}{{\sin x}}} \right)\) \( – 5\left( {\frac{{\sin x – \sin x\cos x + \cos x}}{{\cos x}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x – \sin x\cos x + \sin x = 0\\
\frac{3}{{\sin x}} = \frac{5}{{\cos x}}
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{t^2} – 2t – 1 = 0\\
\tan x = \frac{5}{3}
\end{array} \right.\) với \({t = \sin x + \cos x}\) \({ = \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)}.\)
Đối chiếu với điều kiện thu được: \(x = \frac{\pi }{4} \pm \arccos \frac{{1 – \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} + k2\pi \), \(x = \arctan \frac{3}{5} + k\pi \) \((k∈Z).\)
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
