Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong hình học, đường phân giác của một góc trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với một điểm trên cạnh đối diện, sao cho nó chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Bài 17 trong sách bài tập Toán 8 - Kết nối tri thức tập trung vào việc khám phá và chứng minh một tính chất quan trọng liên quan đến đường phân giác của tam giác.

I. Lý thuyết cơ bản về đường phân giác của tam giác

Đường phân giác của một tam giác có tính chất đặc biệt liên quan đến việc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh kề của góc đó. Cụ thể, nếu AD là đường phân giác của tam giác ABC (D nằm trên BC) thì:

Định lý:Tỉ số giữa hai đoạn thẳng mà đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện bằng tỉ số giữa hai cạnh kề của góc đó.

Tức là: AB/AC = BD/DC

II. Chứng minh định lý về tính chất đường phân giác của tam giác

Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác. Kẻ đường thẳng song song với AB từ D cắt AC tại E. Khi đó:

• DE // AB => Góc ADE = Góc DAB (so le trong)
• Góc EAD = Góc DAB (do AD là đường phân giác)
• => Góc ADE = Góc EAD => Tam giác ADE cân tại E => AE = DE

Tiếp theo, xét tam giác CDE và tam giác CAB. Ta có:

• Góc C chung
• DE // AB => Góc CDE = Góc CBA (đồng vị)
• => Tam giác CDE đồng dạng với tam giác CAB (g.g)

Từ sự đồng dạng trên, ta suy ra:

CD/CB = CE/CA = DE/AB

Mà CE = AC - AE và AE = DE, nên:

CD/CB = (AC - DE)/CA = DE/AB

=> CD/CB = AC/AB - DE/CA = DE/AB

=> CD/CB = AC/AB

=> AB/AC = BD/DC (đpcm)

III. Bài tập áp dụng và ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 12cm. AD là đường phân giác của góc BAC (D thuộc BC). Tính độ dài BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác, ta có:

AB/AC = BD/DC

6/9 = BD/DC

BD/DC = 2/3

Mà BD + DC = BC = 12cm. Đặt BD = 2x, DC = 3x. Ta có:

2x + 3x = 12

5x = 12

x = 2.4

Vậy BD = 2 * 2.4 = 4.8cm và DC = 3 * 2.4 = 7.2cm.

IV. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác, các em nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 8 - Kết nối tri thức cung cấp nhiều bài tập với mức độ khó tăng dần, giúp các em rèn luyện kỹ năng và tư duy toán học.

V. Kết luận

Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo định lý về tính chất đường phân giác sẽ giúp các em giải quyết nhiều bài toán hình học một cách hiệu quả. Chúc các em học tập tốt!