Bài 28. Biến Cố Hợp, Biến Cố Giao, Biến Cố Độc Lập

Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học Bài 28 thuộc chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào các khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, công thức và cách áp dụng các khái niệm này vào giải các bài toán thực tế. Bài học này sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức nền tảng để tiếp tục học tập các chủ đề nâng cao hơn trong môn Toán.

Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập - SBT Toán 11 - Kết nối tri thức

1. Giới thiệu chung về xác suất

Xác suất là một khái niệm quan trọng trong toán học và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Nó giúp chúng ta đánh giá khả năng xảy ra của một sự kiện nào đó. Trong chương trình Toán 11, chúng ta bắt đầu làm quen với các khái niệm cơ bản về xác suất, bao gồm không gian mẫu, biến cố, và các quy tắc tính xác suất.

2. Biến cố hợp

Định nghĩa: Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu là A ∪ B.

Công thức: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B.
P(A) là xác suất của biến cố A.
P(B) là xác suất của biến cố B.
P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B.

3. Biến cố giao

Định nghĩa: Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Ký hiệu là A ∩ B.

Công thức:

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B.
P(A) là xác suất của biến cố A.
P(B) là xác suất của biến cố B.
P(B|A) là xác suất của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra.
P(A|B) là xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra.

4. Biến cố độc lập

Định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại.

Điều kiện: A và B là độc lập khi và chỉ khi P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt. Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện là số lớn hơn 3”.

Ta có:

P(A) = 3/6 = 1/2
P(B) = 3/6 = 1/2
A ∩ B = {4, 6} => P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3

Vì P(A ∩ B) ≠ P(A) * P(B) (1/3 ≠ 1/2 * 1/2 = 1/4) nên A và B không phải là biến cố độc lập.

Ví dụ 2: Gieo hai đồng xu. Gọi A là biến cố “đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt ngửa” và B là biến cố “đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”.

Ta có:

P(A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(A ∩ B) = 1/4

Vì P(A ∩ B) = P(A) * P(B) (1/4 = 1/2 * 1/2) nên A và B là biến cố độc lập.

6. Bài tập áp dụng

Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng cùng màu.
Gieo một con xúc xắc hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện là 7.
Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng ít nhất 2 phát.

7. Kết luận

Bài học về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất. Việc nắm vững các khái niệm và công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác.