Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính theo công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng vectơ)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• Nếu a vuông góc với b thì a.b = 0

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Khi đó:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

a. Tính góc giữa hai vectơ

Sử dụng công thức:

cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)

Để tính góc θ giữa hai vectơ a và b.

b. Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ

Nếu a.b = 0 thì hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

c. Tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác

Độ dài hình chiếu của vectơ a lên vectơ b là:

|a_b| = |a.b| / |b|

5. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho hai vectơ a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.

Giải:

a.b = 2*1 + (-1)*3 = 2 - 3 = -1

Bài 2: Cho hai vectơ a = (3; 4) và b = (-4; 3). Chứng minh rằng hai vectơ này vuông góc với nhau.

Giải:

a.b = 3*(-4) + 4*3 = -12 + 12 = 0

Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

6. Luyện tập

1. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau: a = (1; 2), b = (-3; 1); c = (0; 5), d = (2; -2)
2. Cho hai vectơ a = (4; -3) và b = (1; 2). Tính góc giữa hai vectơ này.
3. Cho hai vectơ a = (2; 1) và b = (-1; 2). Tìm độ dài hình chiếu của vectơ a lên vectơ b.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về tích vô hướng của hai vectơ. Chúc bạn học tập tốt!