Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 5. Đường trung trực của một đoạn thẳng - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Nói cách khác, nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB, thì đường thẳng d vuông góc với AB tại M được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng CD có trung điểm I. Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với CD là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

2. Tính chất của đường trung trực

Một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, nếu một điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

Xét tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Gọi d là đường trung trực của BC. Chứng minh rằng nếu điểm A nằm trên d thì AB = AC.

1. Vì d là đường trung trực của BC nên MB = MC.
2. Xét tam giác AMB và tam giác AMC, ta có:
• AM là cạnh chung
• MB = MC (cmt)
• ∠AMB = ∠AMC = 90° (vì d ⊥ BC)
3. Vậy, tam giác AMB = tam giác AMC (c.g.c)
4. Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Ngược lại, nếu AB = AC thì A nằm trên đường trung trực của BC.

3. Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Để vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ cung tròn tâm A bán kính lớn hơn nửa độ dài đoạn thẳng AB.
2. Vẽ cung tròn tâm B bán kính bằng bán kính của cung tròn tâm A.
3. Hai cung tròn này cắt nhau tại hai điểm C và D.
4. Nối C và D, ta được đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Chứng minh:

Vì AC = BC (bán kính bằng nhau) và AD = BD (bán kính bằng nhau) nên C và D cách đều hai mút A và B của đoạn thẳng AB. Do đó, CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho đoạn thẳng MN dài 6cm. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Bài 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Gọi d là đường trung trực của BC. Điểm A có nằm trên d hay không? Vì sao?

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và điểm C không nằm trên AB. Hãy nêu cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho đường trung trực này đi qua điểm C.

5. Ứng dụng của đường trung trực

Đường trung trực có nhiều ứng dụng trong thực tế và trong các bài toán hình học khác. Ví dụ:

• Xác định vị trí của một điểm trên đường thẳng.
• Vẽ đường tròn ngoại tiếp một tam giác.
• Giải các bài toán liên quan đến tính đối xứng.

Hy vọng bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ hơn về đường trung trực của một đoạn thẳng. Hãy làm các bài tập để củng cố kiến thức và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo.

Chúc các em học tốt!