Bài 7. Phép đồng dạng

Bài 7. Phép đồng dạng - SGK Toán 11 Nâng cao

Phép đồng dạng là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu sự tương đồng giữa các hình. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, tính chất và ứng dụng của phép đồng dạng, dựa trên nội dung của SGK Toán 11 Nâng cao.

1. Định nghĩa phép đồng dạng

Một phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng nếu nó bảo toàn tỷ lệ khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Nói cách khác, nếu M' = f(M) và N' = f(N) thì M'N' / MN = k, với k là một hằng số dương gọi là tỷ số đồng dạng.

2. Tính chất của phép đồng dạng

• Bảo toàn ba điểm không thẳng hàng: Phép đồng dạng biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
• Bảo toàn đường thẳng: Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng.
• Bảo toàn góc: Phép đồng dạng bảo toàn số đo của góc.
• Bảo toàn tính chất lồi/lõm: Phép đồng dạng bảo toàn tính chất lồi hoặc lõm của một hình.

3. Phân loại phép đồng dạng

Có hai loại phép đồng dạng chính:

• Phép vị tự: Là phép đồng dạng xác định bởi một điểm gọi là tâm vị tự và một tỷ số k.
• Phép đồng dạng liên hợp: Là phép đồng dạng có thể được phân tích thành một phép dời hình và một phép vị tự.

4. Tâm và tỷ số của phép đồng dạng

Mọi phép đồng dạng đều có một tâm và một tỷ số. Tâm của phép đồng dạng là điểm cố định của phép đồng dạng, còn tỷ số là hằng số k trong công thức M'N' / MN = k.

5. Ứng dụng của phép đồng dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Vẽ bản đồ: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các bản đồ thu nhỏ hoặc phóng to của một khu vực.
• Thiết kế đồ họa: Phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các hình ảnh có kích thước khác nhau.
• Kiến trúc: Phép đồng dạng được sử dụng để thiết kế các tòa nhà và công trình có tỷ lệ hài hòa.
• Nghiên cứu khoa học: Phép đồng dạng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, chẳng hạn như vật lý, hóa học và sinh học.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng với nhau theo tỷ số k = 2. Biết AB = 3cm, BC = 4cm, CA = 5cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Giải:

• A'B' = k * AB = 2 * 3cm = 6cm
• B'C' = k * BC = 2 * 4cm = 8cm
• C'A' = k * CA = 2 * 5cm = 10cm

Ví dụ 2: Cho điểm M(2, 3) và phép vị tự tâm O(0, 0) tỷ số k = -1. Tìm tọa độ điểm M' là ảnh của M qua phép vị tự.

Giải:

M'(x', y') = (kx, ky) = (-1 * 2, -1 * 3) = (-2, -3)

7. Kết luận

Bài học về phép đồng dạng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về định nghĩa, tính chất, phân loại và ứng dụng của phép đồng dạng. Hy vọng rằng, thông qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức và có thể áp dụng chúng vào giải các bài tập liên quan. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm những kiến thức thú vị khác trong môn Toán 11 Nâng cao!