cách giải phương trình logarit

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải một số dạng toán phương trình logarit thường gặp trong chương trình Giải tích lớp 12.

A. TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA

1. Định nghĩa:

Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu logarit.

2. Phương trình logarit cơ bản:

\({\log _a}x = m\) (với \(0 < a \ne 1\)) \( \Leftrightarrow x = {a^m}.\)

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Đưa các logarit về cùng cơ số.

1. PHƯƠNG PHÁP:

Với \(0 < a \ne 1\) thì:

\({\log _a}\alpha = {\log _a}\beta \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{\alpha = \beta }\\

{\alpha /> 0({\rm{\:hay\:}}\beta /> 0)}

\end{array}} \right..\)

\({\log _a}f(x) = m \Leftrightarrow f(x) = {a^m}.\)

2. CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) \({\log _3}x + {\log _3}(x + 2) = 1.\)

b) \({\log _2}\left( {{2^x} – 3} \right) + x = 2.\)

a) \({\log _3}x + {\log _3}(x + 2) = 1\) \((1).\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{x + 2 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x /> 0.\)

\((1) \Leftrightarrow {\log _3}x(x + 2) = {\log _3}3\) \( \Leftrightarrow x(x + 2) = 3\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 3\:{\rm{(loại)}}}\\

{x = 1\:{\rm{(nhận)}}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

b) \({\log _2}\left( {{2^x} – 3} \right) + x = 2\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{2^x} – 3} \right) = 2 – x\) \( \Leftrightarrow {2^x} – 3 = {2^{2 – x}}\) \( \Leftrightarrow {2^x} – 3 = \frac{4}{{{2^x}}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} – {3.2^x} – 4 = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = {2^x}\), điều kiện \(t/>0.\)

\((1)\) trở thành \({t^2} – 3t – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1\:{\rm{(loại)}}}\\

{t = 4\:{\rm{(nhận)}}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow {2^x} = 4\) \( \Leftrightarrow x = 2.\)

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) \({\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 3} \right).\)

b) \({\log _4}(x + 12).{\log _x}2 = 1.\)

a) \({\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 3} \right).\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{{x^2} – x – 3 /> 0}

\end{array}} \right.\). Ta có:

\({\log _2}\frac{1}{x} = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} – x – 3} \right)\) \( \Leftrightarrow {\log _2}{x^{ – 1}} = {\log _{{2^{ – 1}}}}\left( {{x^2} – x – 3} \right)\) \( \Leftrightarrow – {\log _2}x = – {\log _2}\left( {{x^2} – x – 3} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{{x^2} – x – 3 = x}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{{x^2} – 2x – 3 = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{x = – 1{\rm{\:hoặc\:}}x = 3}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 3.\)

b) \({\log _4}(x + 12).{\log _x}2 = 1\) \((1).\)

Điều kiện: \(0 < x \ne 1.\)

\((1) \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _2}(x + 12) = {\log _2}x\) \( \Leftrightarrow {\log _2}(x + 12) = {\log _2}{x^2}\) \( \Leftrightarrow x + 12 = {x^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} – x – 12 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4\:{\rm{(nhận)}}}\\

{x = – 3\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 4.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 4.\)

3. BÀI TẬP:

1. Giải các phương trình sau:

a. \(\log (\sqrt {x + 1} + 1) – 3\log \sqrt[3]{{x – 40}} = 0.\)

b. \(2 – \log (x – 9) – \log (2x – 1) = 0.\)

c. \({\log _2}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + {\log _2}\left( {{x^2} – 7x + 12} \right)\) \( – {\log _2}3 – 3 = 0.\)

d. \({3^{{{\log }_4}x + \frac{1}{2}}} + {3^{{{\log }_4}x – \frac{1}{2}}} = 4\sqrt x .\)

2. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _2}[x(x – 1)] = 1.\)

b. \({\log _2}x + {\log _2}(x – 1) = 1.\)

c. \({\log _2}(3 – x) + {\log _2}(1 – x) = 3.\)

d. \({\log _2}x + {\log _4}x = {\log _{\frac{1}{2}}}\sqrt 3 .\)

3. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _3}\left( {{3^x} + 8} \right) = 2 + x.\)

b. \({\log _2}\left( {9 – {2^x}} \right) = {10^{\lg (3 – x)}}.\)

c. \({\log _{\sqrt 3 }}x.{\log _3}x.{\log _9}x = 8.\)

d. \({\log _4}\left( {{{\log }_2}x} \right) + {\log _2}\left( {{{\log }_4}x} \right) = 2.\)

4. Giải phương trình: \({\log _2}\left( {{4^x} + {{15.2}^x} + 27} \right) + 2{\log _2}\frac{1}{{{{4.2}^x} – 3}} = 0.\)

5. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _4}{(x + 1)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 – x} + {\log _8}{(x + 4)^3}.\)

b. \({\log _9}{\left( {{x^2} – 5x + 6} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _{\sqrt 3 }}\frac{{x – 1}}{2} + {\log _3}\left| {x – 3} \right|.\)

c. \((x – 1){\log _5}3 + {\log _5}\left( {{3^{x + 1}} + 3} \right) = {\log _5}\left( {{{11.3}^x} – 9} \right).\)

d. \({\log _5}x + {\log _3}x = {\log _5}3.{\log _9}225.\)

Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn số phụ.

1. PHƯƠNG PHÁP:

Tìm một \({\log _a}f(x)\) chung trong phương trình, đặt bằng \(t.\) Đưa phương trình đã cho về phương trình theo \(t.\) Giải phương trình tìm \(t\), thay \(t\) vào cách đặt để tìm \(x.\)

Chú ý: Nếu đặt \(t = {\log _a}x\) thì \({\log _{\frac{1}{a}}}x = – t\), \({\log _{{a^2}}}x = \frac{1}{2}t\), \(\log _a^2x = {t^2}\) ….

2. CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) \(\log _2^2{x^2} – 4{\log _2}{x^3} + 8 = 0.\)

b) \(\frac{6}{{{{\log }_2}16x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}} = 2.\)

a) \(\log _2^2{x^2} – 4{\log _2}{x^3} + 8 = 0\) \((1).\)

Điều kiện: \(x/>0.\)

\((1) \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} – 12{\log _2}x + 8 = 0.\)

Đặt \(t = {\log _2}x\), ta được:

\((1) \Leftrightarrow 4{t^2} – 12t + 8 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = 2}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_2}x = 1}\\

{{{\log }_2}x = 2}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 2}\\

{x = 4}

\end{array}} \right..\)

So sánh điều kiện ta được nghiệm của phương trình là \(x = 2\) hay \(x = 4.\)

b) \(\frac{6}{{{{\log }_2}16x}} + \frac{4}{{{{\log }_2}\left( {{x^2}} \right)}} = 2\) \((1).\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{0 < {x^2} \ne 1}\\

{0 < 16x \ne 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{0 < x \ne 1}\\

{x \ne \frac{1}{{16}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có: \((1) \Leftrightarrow \frac{6}{{{{\log }_2}16 + {{\log }_2}x}} + \frac{4}{{2{{\log }_2}x}} = 2\) \( \Leftrightarrow \frac{6}{{{{\log }_2}x + 4}} + \frac{2}{{{{\log }_2}x}} = 2\) \((2).\)

Đặt \(t = {\log _2}x.\)

Phương trình \((2)\) trở thành:

\(\frac{6}{{t + 4}} + \frac{2}{t} = 2\) \( \Leftrightarrow 6t + 2t + 8 = 2t(t + 4)\) \( \Leftrightarrow 2{t^2} – 8 = 0\) \( \Leftrightarrow t = \pm 2.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_2}x = 2}\\

{{{\log }_2}x = – 2}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 4}\\

{x = \frac{1}{4}}

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 4\) và \(x = \frac{1}{4}.\)

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} – 5 = 0.\)

Ta có: \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} – 5 = 0\) \((1).\)

Đặt \(t = \sqrt {\log _3^2x + 1} .\) Điều kiện: \(t \ge 1.\)

Phương trình \((1)\) trở thành:

\({t^2} + t – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 2\:{\rm{(nhận)}}}\\

{t = – 3\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow t = 2.\)

\( \Leftrightarrow \log _3^2x = 3\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x = \pm 3\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = {3^{\sqrt 3 }}}\\

{x = {3^{ – \sqrt 3 }}}

\end{array}} \right..\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = {3^{\sqrt 3 }}\), \(x = {3^{ – \sqrt 3 }}.\)

3. BÀI TẬP:

1. Giải các phương trình sau:

a. \({\log ^2}x = 3 + \log {x^2}.\)

b. \({2.9^{{{\log }_2}x – 1}} = {6^{{{\log }_2}x}} – {x^2}.\)

c. \({\log _3}(2x + 1) – 2{\log _{2x + 1}}3 – 1 = 0.\)

d. \({\log ^2}\left( {{x^3}} \right) – 20\log \sqrt x + 1 = 0.\)

2. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _5}\left( {{5^x} – 1} \right)\left[ {\frac{1}{2}{{\log }_5}5\left( {{5^x} – 1} \right)} \right] – 1 = 0.\)

b. \({\log _{27}}\left( {{x^{{{\log }_{27}}x}}} \right) – 3{\log _{27}}x + 2 = 0.\)

c. \(3\sqrt {{{\log }_2}x} – {\log _2}8x + 1 = 0.\)

d. \(5\sqrt {{{\log }_2}( – x)} = {\log _2}\sqrt {{x^2}} .\)

3. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0.\)

b. \(\frac{{{{\log }_2}x}}{{{{\log }_4}2x}} = \frac{{{{\log }_8}4x}}{{{{\log }_{16}}8x}}.\)

c. \({\log _3}\left( {{3^x} – 1} \right).{\log _3}\left( {{3^{x + 1}} – 3} \right) = 12.\)

d. \({\log _{x – 1}}4 = 1 + {\log _2}(x – 1).\)

4. Giải các phương trình sau:

a. \(\frac{6}{{{{\log }_2}x + 1}} + \frac{2}{{{{\log }_2}x}} – 3 = 0.\)

b. \(\frac{1}{{{{\log }_2}\frac{{16}}{x}}} + \frac{2}{{{{\log }_2}4x}} = 1.\)

5. Cho phương trình: \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} – 2m – 1 = 0\) \((1)\) (\(m\) là tham số).

a. Giải phương trình \((1)\) khi \(m = 2.\)

b. Định \(m\) để \((1)\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right].\)

(Đề thi TSĐH – khối A – 2002).

6. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _3}\left( {\log _{0,5}^2x – 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right) = 2.\)

b. \({\log _2}\left( {{{4.3}^x} – 6} \right) – {\log _2}\left( {{9^x} – 6} \right) = 1.\)

7. Giải phương trình: \({\log _{2x – 1}}\left( {2{x^2} + x – 1} \right) + {\log _{x + 1}}{(2x – 1)^2} = 4\) (Đề thi TSĐH – khối A – 2008).

Vấn đề 3: Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số.

1. PHƯƠNG PHÁP:

a) Biến đổi hai vế của phương trình sao cho hai vế là hai hàm số không cùng chiều biến thiên.

+ Bước 1: Nhẩm và chứng minh \({x_0}\) là nghiệm.

+ Bước 2: Chứng minh \({x_0}\) là nghiệm duy nhất (bằng cách chứng minh \(x \ne {x_0}\) không là nghiệm).

b) Một số phương trình ta sử dụng phương pháp đánh giá hai vế, phương pháp đối lập … để giải.

c) Một số phương trình biến đổi được về dạng \(f(u) = f(v)\) thì ta áp dụng: Nếu \(f(t)\) là hàm số tăng (hay giảm) thì \(f(u) = f(v) \Leftrightarrow u = v.\)

2. CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: \({2^x} = 2 – {\log _3}x\) \((1).\)

Điều kiện \(x/>0.\)

\((1) \Leftrightarrow f(x) = {2^x} + {\log _3}x – 2 = 0.\)

Ta có:

\(f(1) = 0\) nên \(x =1\) là một nghiệm của phương trình \((1).\)

\(f'(x) = {2^x}\ln 2 + \frac{1}{{x\ln 3}} /> 0\), \(\forall x /> 0\) nên hàm số \(f\) đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Suy ra \((1)\) có không quá một nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 1.\)

Ví dụ 2: Giải phương trình: \(11 – x = {\log _3}x\) \((2).\)

Điều kiện \(x /> 0.\)

Ta có: \(x = 9\) là một nghiệm của phương trình \((2).\)

Ta chứng minh \(x = 9\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta có:

\(f(x) = 11 – x\) \( \Rightarrow f'(x) = – 1 /> 0\) nên \(f\) nghịch biến trên \((0; + \infty ).\)

\(g(x) = {\log _3}x\) \( \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{{x\ln 3}} /> 0\), \(\forall x /> 0\) nên \(g\) đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Do đó:

+ \(x/>9:\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT < 2}\\

{VP /> 2}

\end{array}} \right.\) suy ra phương trình \((2)\) không có nghiệm thỏa mãn \(x />9.\)

+ \(0<x<1:\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{VT /> 2}\\

{VP < 2}

\end{array}} \right.\) suy ra phương trình \((2)\) không có nghiệm thỏa mãn \(x <9.\)

Vậy phương trình \((2)\) có một nghiệm duy nhất \(x = 9.\)

Ví dụ 3: Giải phương trình: \({\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right) = x(2 – x) + {\log _3}x\) \((3).\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{{x^2} + x + 1 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x /> 0.\)

Cách 1: (Dùng phương pháp đánh giá hai vế).

Ta có: \((3) \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{x} = 2x – {x^2}\) \((4).\)

Ta có:

+ Khi \(x /> 0\) \( \Rightarrow \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = x + \frac{1}{x} + 1 \ge 3\) \( \Rightarrow VT(4) \ge {\log _3}3\) \( \Rightarrow VT(4) \ge 1.\)

Mặt khác ta có: \(VP(4) = 2x – {x^2}\) \( = 1 – {(x – 1)^2} \le 1.\)

Do đó \((3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_3}\frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{x} = 1}\\

{2x – {x^2} = 1}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

Cách 2: (Dùng phương pháp hàm số).

Ta có: \((3) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {{x^2} + x + 1} \right)\) \( = {\log _3}(3x) + 3x\) \((*).\)

Xét hàm số \(f(t) = {\log _3}t + t\) với \(t /> 0.\)

Ta có: \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 /> 0\) với mọi \(t/>0.\)

Suy ra \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên \((0; + \infty ).\)

Do đó: \((*) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + x + 1} \right) = f(3x)\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 3x\) \( \Leftrightarrow {(x – 1)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 1.\)

3. BÀI TẬP:

1. Giải các phương trình sau:

a. \(x – {2^{{{\log }_5}(x + 3)}} = 0.\)

b. \({\log _2}(\sqrt x + 1) – {\log _3}x = 0.\)

2. Giải các phương trình sau:

a. \({\log _2}\left( {x + {3^{{{\log }_6}x}}} \right) – {\log _6}x = 0.\)

b. \({\log _7}x = {\log _3}(\sqrt x + 2).\)

3. Giải phương trình: \({\log _3}\left( {\frac{{{x^2} + x + 3}}{{2{x^2} + 4x + 5}}} \right) = {x^2} + 3x + 2.\)

4. Giải phương trình: \(2{\log _6}(\sqrt[4]{x} + \sqrt[8]{x}) = {\log _4}\sqrt x .\)

5. Giải phương trình: \((x + 2)\log _3^2(x + 1) + 4(x + 1){\log _3}(x + 1) – 16 = 0.\)

6. Giải phương trình: \({\log _x}(x + 1) = \lg 1,5.\)

Vấn đề 4: Phương trình tích.

1. PHƯƠNG PHÁP:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích.

Ta có: \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{A = 0}\\

{B = 0}

\end{array}} \right..\) Ở đây các phương trình \(A = 0\), \(B = 0\) là những phương trình đơn giản hơn.

2. VÍ DỤ:

Ví dụ: Giải phương trình: \(2\log _9^2x = {\log _3}x.{\log _3}(\sqrt {2x + 1} – 1)\) \((1).\)

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x /> 0}\\

{\sqrt {2x + 1} – 1 /> 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x /> 0.\)

\((1) \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{1}{2}{{\log }_3}x} \right)^2}\) \( = {\log _3}x.{\log _3}(\sqrt {2x + 1} – 1)\) \( \Leftrightarrow \log _3^2x – 2{\log _3}x{\log _3}(\sqrt {2x + 1} – 1) = 0\) \( \Leftrightarrow {\log _3}x\left[ {{{\log }_3}x – 2{{\log }_3}(\sqrt {2x + 1} – 1)} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{\log }_3}x = 0}\\

{{{\log }_3}x = {{\log }_3}{{(\sqrt {2x + 1} – 1)}^2}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = 2x – 2\sqrt {2x + 1} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{\sqrt {8x + 4} = x}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{{x^2} – 8x – 4 = 0}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = 4 + 2\sqrt 5 }

\end{array}} \right..\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) hay \(x = 4 + 2\sqrt 5 .\)

3. BÀI TẬP:

1. Giải phương trình \({\log _2}x + 2{\log _7}x = 2 + {\log _2}x.{\log _7}x.\)

2. Giải phương trình \(2x + {\log _2}\left( {{x^2} – 4x + 4} \right)\) \( = 2 – (x + 1){\log _{\frac{1}{2}}}(2 – x).\)

3. Giải phương trình: \(\frac{1}{{x – 1}}\log _2^2x + {\log _2}x + 2 = \frac{4}{{x – 1}}.\)