tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm điều kiện để phương trình f(x) = g(m) có n nghiệm trong chương trình Giải tích 12: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để phương trình \(f(x) = g(m)\) có \(n\) nghiệm thực chất ta chuyển đổi về bài toán tường giao giữa đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(g(m).\)

Số giao điểm phân biệt của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) với đường thẳng \(g(m)\) chính là số nghiệm phân biệt của phương trình \(f(x) = g(m).\)

Xét bài toán: Tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm \(x \in D.\)

+ Bước 1: Thực hiện cô lập \(m\) để đưa về dạng \(f(x) = g(m).\)

+ Bước 2: Khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số \(f(x)\) trên \(D.\)

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận điều kiện cần tìm.

Chú ý:

+ Nếu tồn tại \(\mathop {\max }\limits_D f(x)\), \(\mathop {\min }\limits_D f(x)\) và yêu cầu bài toán chỉ là tìm \(m\) để phương trình \(f(x;m) = 0\) có nghiệm thì ta có thể sử dụng luôn điều kiện: Phương trình bài ra có nghiệm khi và chỉ khi \(\mathop {\min }\limits_D f(x) \le m \le \mathop {\max }\limits_D f(x).\)

+ Nếu bài toán yêu cầu, tìm điều kiện tham số để phương trình \(f(x;m) = 0\) có \(n\) nghiệm phân biệt thì ta chỉ cần tìm điều kiện tham số để đường thẳng \(g(m)\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại \(n\) điểm phân biệt.

II. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có \({x^3} – 2{x^2} + x – m + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + x + 5 = m.\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^3} – 2{x^2} + x + 5.\)

Suy ra \(f'(x) = 3{x^2} – 4x + x\), \(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 1}\\

{x = \frac{1}{3}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên suy ra: phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi \(5 < m < \frac{{139}}{{27}}.\)

Ví dụ 2. Cho phương trình \({x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0.\) Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: \({x^4} – 2{x^2} – 2 – 3m = 0\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^2} – 2 = 3m.\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^4} – 2{x^2} – 2\) có \(f'(x) = 4{x^3} – 4x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm 1}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi: \(3m \ge – 3\) \( \Leftrightarrow m \ge – 1.\)

Ví dụ 3. Cho phương trình \({x^3} – 3mx + 2 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)

Ta có \({x^3} – 3mx + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 2 = 3mx\) \( \Leftrightarrow 3m = {x^2} + \frac{2}{x}.\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} + \frac{2}{x}\) trên \(\left( {\frac{1}{2};2} \right) \cdot \) Khi đó \(f'(x) = 2x – \frac{2}{{{x^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};2} \right)\) khi \(3 \le 3m < 5\) \( \Leftrightarrow 1 \le m < \frac{5}{3}.\)

Ví dụ 4. Cho phương trình \({\sin ^2}x + m\sin x – 2m + 5 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Ta có: \({\sin ^2}x + m\sin x – 2m + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 5 = m(2 – \sin x).\)

Đặt \(t = \sin x.\) Khi đó ta có \( – 1 \le \sin x \le 1\) nên \(t \in [ – 1;1].\)

Do đó ta có phương trình: \({t^2} + 5 = m(2 – t)\) \( \Leftrightarrow \frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}} = m.\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} + 5}}{{2 – t}}\) với \(t \in [ – 1;1].\)

Khi đó \(f'(t) = \frac{{ – {t^2} + 4t + 5}}{{{{(2 – t)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\

{t = 5\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi \(m \in [2;6].\)

Ví dụ 5. Cho phương trình \(\sin x + \cos x + 2m\sin x\cos x + 4m – 1 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) \( = \sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\) Khi đó ta có \( – 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) nên \(t \in [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ].\)

Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\) \( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x = {t^2} – 1.\)

Do đó ta có phương trình: \(t + m\left( {{t^2} – 1} \right) + 4m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}} = m.\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{1 – t}}{{{t^2} + 3}}\) với \(t \in [ – \sqrt 2 ;\sqrt 2 ].\)

Khi đó \(f'(t) = \frac{{{t^2} – 2t – 3}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = – 1}\\

{t = 3\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có nghiệm khi \(m \in \left[ {\frac{{1 – \sqrt 2 }}{5};\frac{1}{2}} \right].\)

Ví dụ 6. Cho phương trình \({x^2} + m(\sqrt {4 – {x^2}} + 1) – 7 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Xét phương trình: \({x^2} + m(\sqrt {4 – {x^2}} + 1) – 7 = 0.\)

Đặt \(t = \sqrt {4 – {x^2}} .\) Điều kiện \(0 \le t \le 2.\) Khi đó \({t^2} = 4 – {x^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} = 4 – {t^2}.\)

Phương trình trở thành: \(4 – {t^2} + m(t + 1) – 7 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}.\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{{t^2} + 3}}{{t + 1}}\) với \(t \in [0;2].\)

Suy ra \(f'(t) = \frac{{{t^2} + 2t – 3}}{{{{(t + 1)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 1}\\

{t = – 3\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì \(2 \le m \le 3.\)

Ví dụ 7. Cho phương trình \(m(\sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} )\) \( + 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} – 7 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Nhận xét: \( – {x^2} + 5x – 4 = (x – 1)(4 – x).\)

Đặt \(t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} .\)

Xét hàm số \(t(x) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} \) với \(x \in [1;4].\)

Ta có \(t'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {4 – x} }}\) \( = \frac{{\sqrt {4 – x} – \sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} .\sqrt {4 – x} }} = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}.\)

Bảng biến thiên hàm số \(t(x):\)

Do đó với \(x \in [1;4]\) thì \(t \in [\sqrt 3 ;\sqrt 6 ].\)

Khi đó ta có \(t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {4 – x} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3 – 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} .\)

\( \Rightarrow 2\sqrt { – {x^2} + 5x – 4} = 3 – {t^2}.\)

Phương trình ban đầu trở thành: \(mt + 3 – {t^2} – 7 = 0\) \( \Leftrightarrow m = t + \frac{4}{t}.\)

Xét hàm số \(f(t) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in [\sqrt 3 ;\sqrt 6 ].\)

Suy ra \(f'(t) = 1 – \frac{4}{{{t^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = 2}\\

{t = – 2\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số thì để phương trình bài ra có nghiệm thì \(4 \le m \le \frac{{10}}{{\sqrt 6 }}.\)

Ví dụ 8. Cho phương trình \(2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt trên đoạn \([-2;4].\)

Ta có \(2{x^3} – 3{x^2} + 2m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 2m = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1.\)

Xét hàm số \(f(x) = – 2{x^3} + 3{x^2} + 1\) trên đoạn \([ – 2;4].\)

Khi đó \(f'(x) = – 6{x^2} + 6x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = 1}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi \(1 < 2m < 2\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 1.\)

Ví dụ 9. Cho phương trình \(4{\sin ^2}x – (m + 4)\sin x – 2m + 1 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình đã cho có đúng bốn nghiệm phân biệt trên đoạn \([0;\pi ].\)

Đặt \(t = \sin x.\) Xét hàm số \(t(x) = \sin x\) với \(x \in [0;\pi ].\)

Khi đó \(t’ = \cos x\), \(t’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}.\)

Ta có bảng biến thiên hàm số \(t(x):\)

Từ bảng biến thiên, ta thấy với \(x \in [0;\pi ]\) thì \(t \in [0;1].\) Và mỗi \(t \in [0;1)\) thì cho ta hai nghiệm \(x \in [0;\pi ].\)

Phương trình bài ra trở thành:

\({t^2} – (m + 4)t – 2m + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 4{t^2} – 4t + 1 = m(2 + t)\) \( \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}} = m.\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{4{t^2} – 4t + 1}}{{t + 2}}\) với \(t \in [0;1].\)

Suy ra: \(f'(t) = \frac{{(2t – 1)(2t + 9)}}{{{{(t + 2)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = \frac{1}{2}}\\

{t = – \frac{9}{2}\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình bài ra có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình \(f(t) = m\) có hai nghiệm phân biệt \(t \in [0;1).\) Do đó \(0 < m < \frac{1}{3}.\)

Ví dụ 10. Cho phương trình \( – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3(1 – m){x^2} + 6x + 4 = 0.\) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn \([-3;-1].\)

Ta có \( – {m^3}{x^6} + {x^3} + 3(1 – m){x^2} + 6x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4 = {m^3}{x^6} + 3m{x^2}.\)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} + 3(x + 1) = {\left( {m{x^2}} \right)^3} + 3m{x^2}\) \((1).\)

Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: \(f(t) = {t^3} + 3t\) với \(t \in R.\)

Ta có \(f'(t) = 3{t^2} + 3 /> 0\), \(\forall t \in R.\)

Do đó hàm số \(f(t)\) liên tục và đồng biến trên \(R.\)

Từ phương trình \((1)\), ta có: \(f(x + 1) = f\left( {m{x^2}} \right)\) \( \Rightarrow x + 1 = m{x^2}\) \( \Leftrightarrow m = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}.\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{x + 1}}{{{x^2}}}\) với \([ – 3; – 1].\)

Ta có \(g'(x) = \frac{{ – {x^2} – 2x}}{{{x^4}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0\:\:{\rm{(loại)}}}\\

{x = – 2}

\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g(x):\)

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình bài ra có đúng hai nghiệm phân biệt trên \([-3;-1]\) khi \(m \in \left[ { – \frac{1}{4}; – \frac{2}{9}} \right].\)

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1. Cho phương trình \({x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0.\) Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình bài ra có \(3\) nghiệm phân biệt.

A. \(m \in ( – 8; – 6).\)

B. \(m \in \left( { – 6;\frac{{ – 148}}{{27}}} \right).\)

C. \(m \in \left( {\frac{{ – 148}}{{27}};4} \right).\)

D. \(m \in (4;5).\)

Ta có \({x^3} – {x^2} – 5x – m + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow m = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^3} – {x^2} – 5x + 1.\)

Suy ra: \(f'(x) = 3{x^2} – 2x – 5 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = – 1}\\

{x = \frac{5}{3}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, ta thấy phương trình bài ra có ba nghiệm phân biệt khi \(\frac{{ – 148}}{{27}} < m < 4.\)

Chọn đáp án C.

Bài 2. Cho phương trình \(\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – \frac{5}{4} = 0.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình bài ra có \(4\) nghiệm phân biệt.

A. \(\left( { – 3; – \frac{5}{4}} \right].\)

B. \(\left( { – \frac{5}{4}; + \infty } \right).\)

C. \(( – 4; – 3).\)

D. \(\left( {\frac{5}{4};3} \right).\)

Ta có \(\frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} + m – \frac{5}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – \frac{5}{4} = – m.\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{1}{4}{x^4} – 2{x^2} – \frac{5}{4}.\)

Suy ra \(f'(x) = {x^3} – 4x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = \pm 2}

\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình bài ra có \(4\) nghiệm phân biệt khi \( – m \in \left( { – 3; – \frac{5}{4}} \right)\) \( \Leftrightarrow m \in \left( {\frac{5}{4};3} \right).\)

Chú ý: Bài toán này ta có thể đặt ẩn phụ \(t = {x^2}\) đưa về biện luận dạng phương trình bậc hai: \(\frac{1}{4}{t^2} – 2t + m – \frac{5}{4} = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt thì kết quả đáp số thu được vẫn giống như trên.

Chọn đáp án D.

Bài 3. Tìm tất cả điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \(x + 3 = m\sqrt {{x^2} + 1} \) có hai nghiệm phân biệt.

A. \(( – 2; – 1).\)

B. \((1;\sqrt {10} ).\)

C. \(( – 1;1).\)

D. \((3;5).\)

Ta có \(x + 3 = m\sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow m = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

Xét hàm số \(f(x) = \frac{{x + 3}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\)

Suy ra: \(f'(x) = \frac{{1 – 3x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi \(m \in (1;\sqrt {10} ).\)

Chọn đáp án B.

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(2{\sin ^2}x – (m + 3)\sin x + 2m – 1 = 0\) có nghiệm.

A. \(4.\)

B. \(3.\)

C. \(2.\)

D. \(6.\)

Đặt \(t = \sin x\) với \(t \in [ – 1;1].\)

Ta có phương trình:

\(2{t^2} – (m + 3)t + 2m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 2{t^2} – 3t – 1 = m(t – 2)\) \( \Leftrightarrow \frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}} = m.\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{2{t^2} – 3t – 1}}{{t – 2}}\) với \(t \in [ – 1;1].\)

Suy ra: \(f'(t) = \frac{{2{t^2} – 8t + 7}}{{{{(t – 2)}^2}}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{t = \frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}\:\:{\rm{(loại)}}}\\

{t = \frac{{4 – \sqrt 2 }}{2}\:\:{\rm{(loại)}}}

\end{array}} \right..\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ { – \frac{4}{3};2} \right].\) Do đó có các giá trị nguyên của \(m\) là: \(-1\), \(0\), \(1\), \(2.\) Có bốn giá trị thỏa mãn đề bài.

Chọn đáp án A.

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(m(\sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} )\) \( + 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} – 5 = 0\) có nghiệm.

A. \(3.\)

B. \(12.\)

C. \(9.\)

D. \(7.\)

Đặt \(t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} .\)

Xét hàm số \(t(x) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} \) với \(x \in [1;2].\)

Ta có \(t'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} – \frac{1}{{2\sqrt {2 – x} }}\), \(t'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(t(x):\)

Từ bảng biến thiên của hàm số \(t(x)\) ta có \(t \in [1;\sqrt 2 ].\)

Khi đó \(t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {2 – x} \) \( \Rightarrow {t^2} = 1 + 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} \) \( \Leftrightarrow 2\sqrt { – {x^2} + 3x – 2} = {t^2} – 1.\)

Phương trình trở thành: \(mt + {t^2} – 1 – 5 = 0\) \( \Leftrightarrow m = – t + \frac{6}{t}\) \((1).\)

Xét hàm số \(f(t) = – t + \frac{6}{t}\) với \(t \in [1;\sqrt 2 ].\) Ta có \(f'(t) = – 1 – \frac{6}{{{t^2}}} < 0\), \(\forall t \in [1;\sqrt 2 ].\)

Phương trình \((1)\) có nghiệm khi:

\(\mathop {\min }\limits_{_{[1;\sqrt 2 ]}} f(t) \le m \le \mathop {\max }\limits_{_{[1;\sqrt 2 ]}} f(t)\) \( \Leftrightarrow f(\sqrt 2 ) \le m \le f(1)\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \le m \le 5.\)

Mà \(m \in Z\) \( \Rightarrow m \in \{ 3;4;5\} .\)

Vậy tổng các giá trị \(m\) nguyên cần tìm là \(S = 3+4+5=12.\)

Chọn đáp án B.

Bài 6. Biết tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2x + 2 = \sqrt {{x^2} + 2x + m} \) có nghiệm có dạng \(S = [a; + \infty ).\) Hỏi giá trị \(a\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {\frac{{ – 3}}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

B. \(\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

C. \(\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right).\)

D. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\)

Ta có \(2x + 2 = \sqrt {{x^2} + 2x + m} \) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{{{(2x + 2)}^2} = {x^2} + 2x + m\:\:(1)}\\

{x \ge – 1}

\end{array}} \right..\)

Khi đó ta có \((1) \Leftrightarrow m = 3{x^2} + 6x + 4.\)

Xét hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 6x + 4\) với \(x \ge – 1.\)

Suy ra: \(f'(x) = 6x + 6 \ge 0\), \(\forall x \in [ – 1; + \infty ).\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có nghiệm khi \(m \in [1; + \infty ).\) Do đó \(a = 1 \in \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\)

Chọn đáp án D.

Bài 7. Biết tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0\) có đúng \(4\) nghiệm phân biệttrên đoạn \([-2;3]\) là \(S = (a;b).\) Tính tổng \(T = a+b.\)

A. \(T = 74.\)

B. \(T = 19.\)

C. \(T =11.\)

D. \(T =20.\)

Ta có \({x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} – m + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5 = m.\)

Xét hàm số \(f(x) = {x^4} – 4{x^3} + 4{x^2} + 5\) với \(x \in [ – 2;3].\)

Ta có \(f'(x) = 4{x^3} – 12{x^2} + 8x = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x = 0}\\

{x = 1}\\

{x = 2}

\end{array}} \right..\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình bài ra có đúng bốn nghiệm phân biệt khi \(m \in (5;6).\) Do đó \(T = 5 + 6 = 11.\)

Chọn đáp án C.

Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(x + 2\sqrt {1 – {x^2}} = m\) có hai nghiệm phân biệt.

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(3.\)

Ta có \(x + 2\sqrt {1 – {x^2}} = m\), điều kiện \(x \in [ – 1;1].\)

Xét hàm số \(f(x) = x + 2\sqrt {1 – {x^2}} \) với \(x \in [ – 1;1].\) Suy ra: \(f'(x) = 1 – \frac{{2x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}.\)

Khi đó: \(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {1 – {x^2}} = 2x\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{x \ge 0}\\

{1 – {x^2} = 4{x^2}}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên của hàm số, suy ra phương trình bài ra có hai nghiệm phân biệt khi \(m \in (1;\sqrt 5 ).\) Mà \(m \in Z\) \( \Rightarrow m = 2.\)

Chọn đáp án C.

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}\) \( + \left( {15 – 3{m^2}} \right){x^2} – 6mx + 10 = 0\) có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\)

A. \(\frac{7}{5} \le m < 3.\)

B. \(0 < m < \frac{9}{4}.\)

C. \(2 < m \le \frac{5}{2}.\)

D. \(\frac{{11}}{5} < m < 4.\)

Ta có \({x^6} + 6{x^4} – {m^3}{x^3}\) \( + \left( {15 – 3{m^2}} \right){x^2} – 6mx + 10 = 0.\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^3} + 3\left( {{x^2} + 2} \right)\) \( = {(mx + 1)^3} + 3(mx + 1)\) \((1).\)

Xét hàm số đặc trưng cho phương trình: \(f(t) = {t^3} + 3t.\)

Ta có \(f'(t) = 3{t^2} + 3 /> 0\), \(\forall t \in R\) nên hàm số \(f(t)\) liên tục và đồng biến trên \(R.\)

\((1) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2} \right) = f(mx + 1)\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2 = mx + 1\) \( \Leftrightarrow {x^2} – mx + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2} + 1}}{x}.\)

Xét hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\) trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right].\) Ta có \(g'(x) = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}\) \( \Rightarrow g'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\) khi và chỉ khi \(2 < m \le \frac{5}{2}.\)

Chọn đáp án C.

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) có nghiệm thực?

A. \(5.\)

B. \(2.\)

C. \(4.\)

D. \(3.\)

Ta có \(\sqrt[3]{{m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}}} = \sin x\) \( \Leftrightarrow m + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = {\sin ^3}x.\)

\( \Leftrightarrow (m + 3\sin x) + 3\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}\) \( = {\sin ^3}x + 3\sin x\) \((1).\)

Xét hàm số đặc trưng cho phương trình \((1)\), ta có:

\(f(t) = {t^3} + 3t\) với \(t \in R\), \(f'(t) = 3{t^2} + 3 /> 0\) với mọi \(t \in R.\)

Do đó hàm số \(f(t)\) liên tục và đồng biến trên \(R.\)

Ta có \((1) \Leftrightarrow f(\sqrt[3]{{m + 3\sin x}}) = f(\sin x)\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{m + 3\sin x}} = \sin x.\)

\( \Leftrightarrow m + 3\sin x = {\sin ^3}x\) \( \Leftrightarrow m = {\sin ^3}x – 3\sin x.\)

Đặt \(u = \sin x\), ta có \(g(u) = {u^3} – 3u\), với \(u \in [ – 1;1].\)

\(g'(u) = 3{u^2} – 3 = 0\) \( \Leftrightarrow u = \pm 1.\)

Khi đó: \(g(1) = – 2\), \(g( – 1) = 2.\)

Phương trình bài ra có nghiệm khi \(\mathop {\min }\limits_{_{[ – 1;1]}} g(u) \le m \le \mathop {\max }\limits_{_{[ – 1;1]}} g(u)\) \( \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2.\)

Mà \(m \in Z\) \( \Rightarrow m \in \{ – 2; – 1;0;1;2\} .\)

Vậy có \(5\) giá trị nguyên cần tìm.

Chọn đáp án A.

IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} – 2{x^2} – 3m + 1 = 0\) có đúng ba nghiệm phân biệt.

A. \(m = \frac{1}{3}.\)

B. \(m \in (1;3).\)

C. \(m \in ( – 2;0).\)

D. \(m = 1.\)

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} – 3x + m – 4 = 0\) có nghiệm \(x \in [0;3].\)

A. \([ – 6;14].\)

B. \([ – 14;6].\)

C. \([ – 6; – 4].\)

D. \([ – 4; + \infty ).\)

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3} + 3{x^2} – m + 3 = 0\) có nghiệm \(x \in [ – 3; – 1].\)

A. \([3;5].\)

B. \([3;7].\)

C. \((3; + \infty ).\)

D. \([5;7].\)

Bài 4. Biết tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({x^4} – 2{x^2} + 5 – 2m = 0\) có bốn nghiệm phân biệt là \(S = (a;b).\) Tính \(T = a+b.\)

A. \(T = \frac{{ – 1}}{2}.\)

B. \(T = \frac{3}{2}.\)

C. \(T = \frac{7}{2}.\)

D. \(T = \frac{9}{2}.\)

Bài 5. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2{x^3} – (m + 1)x + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \((0;3).\)

A. \(22.\)

B. \(171.\)

C. \(156.\)

D. \(161.\)

Bài 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} – 2x + (m + 2)\sqrt {2x – {x^2}} – 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(3.\)

D. \(0.\)

Bài 7. Biết tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({\sin ^2}x + (2 – m)\cos x + 3m = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt trên đoạn \([ – \pi ;\pi ]\) là \(S = [a;b).\) Tính \(T = a + b.\)

A. \(T = – \frac{1}{2}.\)

B. \(T = \frac{3}{2}.\)

C. \(T = – \frac{2}{3}.\)

D. \(T = \frac{7}{3}.\)

Bài 8. Cho phương trình \(\sqrt x + \sqrt {4 – x} = \sqrt {4x – {x^2} + m} .\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

A. \(1.\)

B. \(2.\)

C. \(4.\)

D. \(7.\)

Bài 9. Cho phương trình:

\({\sin ^3}x\left( {{{\sin }^6}x + 3} \right) – {m^3} – 3m\) \( = 27{\sin ^3}x + 27m{\sin ^2}x + 9\left( {1 + {m^2}} \right)\sin x.\)

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { – \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2}} \right].\)

A. \(2.\)

B. \(-1.\)

C. \(-2.\)

D. \(0.\)

Bài 10. Cho phương trình \({x^3} + 3{x^2} + 6x – 2\sqrt {x + m} \) \( = (x + m + 1)\sqrt {x + m} – 4.\) Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(S =(a;b].\) Tính tổng \(T = 4a + b.\)

A. \(T =-3.\)

B. \(T =4.\)

C. \(T =-2.\)

D. \(T = 7.\)

V. BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1. \(A.\)

2. \(B.\)

3. \(B.\)

4. \(D.\)

5. \(C.\)

6. \(A.\)

7. \(A.\)

8. \(A.\)

9. \(C.\)

10. \(B.\)