tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển biết $n$

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ \(n\), đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11.

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Phương pháp:

+ Áp dụng khai triển \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.\)

+ Xác định số hạng tổng quát \(C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.\)

+ Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng \(A.{x^{f(k)}}\) (với \(x\) là ẩn).

+ Đối chiếu với giả thiết giải phương trình \(f(k) = h\), tìm \(k\) tương ứng.

+ Suy ra hệ số cần tìm.

Lưu ý: Một số tính chất của lũy thừa:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.\)

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.\)

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}.\)

\({(ab)^m} = {a^m}.{b^m}.\)

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.\)

\(\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.\)

\(\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.\)

\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.\)

2. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tìm hệ số của \({x^{31}}\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40 – k}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{40}^k{x^{3k – 80}}.\)

Để có hệ số của \({x^{31}}\) thì \(3k – 80 = 31\) \( \Leftrightarrow k = 37.\)

Vậy hệ số của \({x^{31}}\) là: \(C_{40}^{37} = 9880.\)

Bài 2: Tìm hệ số không chứa \(x\) của khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}\) với \(x /> 0.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {(\sqrt[3]{x})^{7 – k}}{\left( {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.\)

Để có số hạng không chứa \(x\) thì \(\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_7^4 = 35.\)

Bài 3: Tìm hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} – xy} \right)^{15}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {{x^3} – xy} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 – k}}.{( – xy)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{( – 1)^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k.{( – 1)^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.\)

Hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) là: \(C_{15}^k.{( – 1)^k}\) với \(k\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{45 – 2k = 29}\\

{k = 8}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)

Vậy hệ số của \({x^{29}}{y^8}\) trong khai triển là: \(C_{15}^8.{( – 1)^8} = 6435.\)

Bài 4: Tìm hệ số không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right)^{18}}\) \((x /> 0).\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right)^{18}}\) \( = {\left( {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right)^{18}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {(2x)^{18 – k}}{\left( {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.\)

Hệ số của số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{18}^k{.2^{18 – k}}\) với \(k\) thỏa mãn: \(\frac{{90 – 6k}}{5} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 15.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.\)

Bài 5: Tìm hệ số không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right)^{17}}\) với \(x \ne 0.\)

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{17}^k{\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{17 – k}}{\left( {{x^{\frac{3}{4}}}} \right)^k}\) \( = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}\) với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k \in N}\\

{k \le 17}

\end{array}} \right..\)

Để có số hạng không chứa \(x\) thì: \(\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{17}^8 = 24310.\)

Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}\) \( = {\left( {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^{12 – k}}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_{12}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8\) \( \Leftrightarrow k = 8.\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{12}^8 = 495.\)

Bài 7: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2{x^3}} \right)^{10 – k}}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.\)

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_{10}^k{2^{10 – k}}\) với \(k\) thỏa mãn \(30 – 5k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 6.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^6{2^4} = 3360.\)

Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{15}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) là \(C_{15}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(15 – 2k = 7\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển là: \(C_{15}^4 = 1365.\)

Bài 9: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển: \({\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\)

Lời giải:

Ta có: \( = {\left( {2x – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2x)^{10 – k}}{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2)^{10 – k}}{( – 1)^k}{x^{10 – 2k}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{(2)^{10 – k}}{( – 1)^k}{x^{10 – 2k}}.\)

Để có số hạng không chứa \(x\) thì \(10 – 2k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 5.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^5{(2)^5}{( – 1)^5} = – 8064.\)

Bài 10: Tìm hệ số của \({x^{16}}\) trong khai triển: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {{x^2} – 2x} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2}} \right)^{10 – k}}{( – 2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {( – 2)^k}{x^{20 – k}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{( – 2)^k}{x^{20 – k}}.\)

Hệ số của \({x^{16}}\) là \(C_{10}^k{( – 2)^k}\) với \(k\) thỏa mãn \(20 – k = 16\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)

Vậy hệ số của \({x^{16}}\) trong khai triển: \(C_{10}^4{( – 2)^4} = 3360.\)

Bài 11: Tìm hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển: \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left( {{x^3}} \right)^{15 – k}}{(xy)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.\)

Hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) là \(C_{15}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{45 – 2k = 25}\\

{k = 10}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k = 10.\)

Vậy hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển là: \(C_{15}^{10} = 3003.\)

Bài 12: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển của nhị thức Newton: \({\left( {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{20}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left( { – \frac{2}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {( – 2)^k}{x^{20 – 2k}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{20}^k{( – 2)^k}{x^{20 – 2k}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{20}^k{( – 2)^k}\) với \(k\) thỏa mãn: \(20 – 2k = 8\) \( \Leftrightarrow k = 6.\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là: \(C_{20}^6{( – 2)^6} = 2480640.\)

Bài 13: Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}\) \( = C_8^0 + C_8^1{x^2}(1 – x)\) \( + C_8^2{x^4}{(1 – x)^2} + C_8^3{x^6}{(1 – x)^3}\) \( + C_8^4{x^8}{(1 – x)^4} + C_8^5{x^{10}}{(1 – x)^5}\) \( + C_8^6{x^{12}}{(1 – x)^6} + C_8^7{x^{14}}{(1 – x)^7}\) \( + C_8^8{x^{16}}{(1 – x)^8}.\)

Nhận xét:

Bậc của \(x\) trong \(3\) số hạng đầu luôn nhỏ hơn \(8.\)

Bậc của \(x\) trong \(4\) số hạng cuối luôn lớn hơn \(8.\)

Do đó \({x^8}\) chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm.

Xét trong khai triển \(C_8^3{x^6}{(1 – x)^3}\) thì hệ số của \({x^8}\) là: \(C_8^3.C_3^2.\)

Xét trong khai triển \(C_8^4{x^8}{(1 – x)^4}\) thì hệ số của \({x^8}\) là: \(C_8^4.C_4^0.\)

Vậy hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \({\left[ {1 + {x^2}(1 – x)} \right]^8}\) là: \(C_8^3.C_3^2 + C_8^4.C_4^0 = 238.\)

Bài 14: Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \({(x + 1)^4} + {(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}.\)

Lời giải:

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là tổng hệ số của \({x^5}\) trong từng khai triển \({(x + 1)^i}\), \(i = \overline {4…7} .\)

Nhận xét rằng trong khai triển \({(x + 1)^4}\) không chứa \({x^5}.\) Ta có:

\({(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}\) \( = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}\) \( + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}\) \( + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.\)

Chọn \({k_1} = {k_2} = {k_3} = 5\) ta được hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.\)

Bài 15: Cho đa thức \(P(x) = {(1 + x)^9} + {(1 + x)^{10}}\) \( + {(1 + x)^{11}} + \ldots + {(1 + x)^{14}}\) có dạng khai triển là: \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.\) Hãy tính hệ số \({a_9}.\)

Lời giải:

Để tính hệ số \({a_9}\) là hệ số của \({x^9}\) ta tính hệ số \({a_9}\) trong từng nhị thức của \(P(x)\) rồi tính tổng của chúng.

Xét khai triển \({(1 + x)^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.\)

Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên tương ứng \(k = 9\) là \(C_9^9.\)

Xét khai triển \({(1 + x)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.\)

Hệ số của \({x^9}\) trong khai triển trên tương ứng \(k = 9\) là \(C_{10}^9.\)

Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong \(P(x)\) ta được:

\({a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.\)

Bài 16: Cho \(A = {\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\) Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức \(A\) gồm bao nhiêu số hạng?

Lời giải:

Ta có: \(A = {\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}} + {\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{( – 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left( {{x^{ – 2}}} \right)^k}\) \( + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{( – 1)}^h}} C_{10}^h{\left( {{x^3}} \right)^{10 – h}}{\left( {{x^{ – 1}}} \right)^h}.\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{( – 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}\) \( + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{( – 1)}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.\)

Trong khai triển \({\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) có \(21\) số hạng và khai triển \({\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) có \(11\) số hạng.

Xét trường hợp \(20 – 3k = 30 – 4h\) \( \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.\)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k \in N}\\

{h \in N}

\end{array}} \right.\) suy ra: \(4h – 10\) phải chia hết cho \(3.\)

Mặt khác \(0 \le h \le 10\), suy ra: \(h = 4\), \(h = 7\), \(h = 10.\)

Suy ra trong hai khai triển của \({\left( {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{20}}\) và \({\left( {{x^3} – \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) có \(3\) số hạng có lũy thừa của \(x\) giống nhau.

Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức \(A\) gồm có: \(21 + 11 – 3 = 29\) số hạng.

Bài 17: Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của: \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}.\)

Lời giải:

Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) bằng tổng hệ số chứa \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5}\) và \({x^2}{(1 + 3x)^{10}}.\)

Xét khai triển: \(x{(1 – 2x)^5}\) \( = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( – 2)^k}{x^{k + 1}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_5^k{( – 2)^k}{x^{k + 1}}.\)

Chọn \(k = 4\) ta được hệ số của \({x^5}\) là: \(C_5^4{( – 2)^4} = 80.\)

Xét khai triển \({x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) \( = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {(3x)^h}\) \( = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.\)

Chọn \(h=3\), ta được hệ số của \({x^5}\) là: \(C_{10}^3{3^3} = 3240.\)

Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(x{(1 – 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\) là: \(80 + 3240 = 3320.\)

Bài 18: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}\) \( = {\left( {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{\frac{4}{5}}}} \right)^{12 – k}}{\left( {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.\)

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_{12}^k\) với \(k\) thỏa mãn:

\(\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0\) \( \Leftrightarrow k = 5.\)

Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{12}^k = 729.\)

Bài 19: Gọi \({a_0}\), \({a_1}\), \({a_2}\), …, \({a_{11}}\) là hệ số trong khai triển: \({(x + 1)^{10}}(x + 2)\) \( = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.\) Tìm hệ số của \({a_5}.\)

Lời giải:

Ta có: \({(x + 1)^{10}}(x + 2)\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}(x + 2)\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.\)

Ta có hệ số \({a_5}\) chính là hệ số của \({x^6}\) trong khai triển.

Xét tổng: \(\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}\) có số hạng tổng quát là: \(C_{10}^k{x^{11 – k}}.\)

Chọn \(k = 5\), ta được hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(C_{10}^5.\)

Xét tổng: \(\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}\) có số hạng tổng quát là: \(2C_{10}^k{x^{10 – k}}.\)

Chọn \(k = 4\), ta được hệ số của số hạng chứa \({x^6}\) là: \(2C_{10}^4.\)

Vậy \({a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.\)

Bài 20: Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.\)

Số hạng thứ \(k +1\) trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.\)

Chọn \(k = 3\), ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là: \(C_{10}^3 = 120.\)

Bài 21: Tìm hệ số của số hạng thứ \(31\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{40}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.\)

Số hạng thứ \(k +1\) trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.\)

Chọn \(k = 30\), ta được hệ số của số hạng thứ \(31\) trong khai triển là:

\(C_{40}^{30} = 847660528.\)

Bài 22: Tìm hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right)^7}.\)

Lời giải:

Ta có: \({\left( {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right)^7}\) \( = {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right)^{7 – k}}{x^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.\)

Hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển là \(C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}\) với \(k\) thỏa mãn:

\(\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)

Vậy hạng tử chứa \({x^2}\) trong khai triển là \(C_7^4{x^2} = 35{x^2}.\)

Bài 23: Cho đa thức \(P(x) = (1 + x) + 2{(1 + x)^2}\) \( + 3{(1 + x)^3} + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}\) được viết dưới dạng: \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.\) Tìm hệ số \({a_{15}}\)?.

Lời giải:

Hệ số \({a_{15}}\) là hệ số của \({x^{15}}\) trong khai triển \(P(x).\)

Ta nhận thấy \({x^{15}}\) chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ \(15\) trở đi, tức là trong tổng \(15{(1 + x)^{15}}\) \( + 16{(1 + x)^{16}}\) \( + 17{(1 + x)^{17}}\) \( + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}.\)

Mà \(15{(1 + x)^{15}}\) \( + 16{(1 + x)^{16}}\) \( + \ldots + 20{(1 + x)^{20}}\) \( = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}\) \( + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}\) \( + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.\)

Chọn \({k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}\) ta được hệ số của \(x^{15}\) trong khai triển \(P(x)\) là:

\(15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}\) \( + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}\) \( = 400995.\)

Bài 24: Khai triển \(P(x) = {(3 + x)^{50}}\) \( = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.\)

a/ Tính hệ số \({a_{46}}.\)

b/ Tính tổng \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \({(3 + x)^{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}\) \((*).\)

Ta có: \({a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}\), \(\forall k = \overline {0..50} .\)

Suy ra: \({a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.\)

b) Nhận thấy \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.\)

Từ \((*)\) chọn \(x= 1\), ta được: \({(3 + 1)^{50}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}\) \( \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.\)

Vậy \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.\)

Bài 25:

a/ Tìm số hạng của khai triển \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right)^9}\) là một số nguyên.

b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển \({\left( {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right)^6}.\)

c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển \({\left( {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right)^{36}}.\)

d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}}.\)

Lời giải:

a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right)^9}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right)^9}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left( {{3^{\frac{1}{2}}}} \right)^{9 – k}}{\left( {{2^{\frac{1}{3}}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {(3)^{\frac{{9 – k}}{2}}}{(2)^{\frac{k}{3}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_9^k{(3)^{\frac{{9 – k}}{2}}}{(2)^{\frac{k}{3}}}.\)

Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có \(k\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{9 – k \vdots 2}\\

{k \vdots 3}\\

{k = \overline {0..9} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 3}\\

{k = 9}

\end{array}} \right..\)

Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là: \({T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536\), \({T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.\)

b) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right)^6}\) \( = {3^3}{\left( {1 – \sqrt 5 } \right)^6}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{( – 1)^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(27C_6^k{( – 1)^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.\)

Để có số hạng hữu tỷ thì \({5^{\frac{k}{2}}}\) là số hữu tỷ, suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k \vdots 2}\\

{k = \overline {0..6} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .\)

Vậy các số hạng hữu tỷ là: \({T_1} = 27C_6^0 = 27\), \({T_3} = 27C_6^2.{( – 1)^2}.5 = 810\), \({T_5} = 27C_6^4{( – 1)^4}{.5^2} = 10125\), \({T_7} = 27C_6^6{( – 1)^6}{.5^3} = 3375.\)

c) Ta có: \({\left( {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right)^{36}}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right)^{36}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.\)

Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa \(k\) thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{36 – k \vdots 5}\\

{k \vdots 3}\\

{k = \overline {0..36} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .\)

Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là: \({T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}\), \({T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}\), \({T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.\)

d) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}}\) \( = {\left( {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right)^{124}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.\)

Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{124 – k \vdots 2}\\

{k \vdots 4}\\

{k = \overline {0..124} }

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}

{k = 4h}\\

{k = \overline {0..124} }\\

{h \in N}

\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124\) \( \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.\)

Vậy có \(32\) số hạng nguyên trong khai triển.