Bài 1. Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

Bài 1 trong chương IX của sách Toán 11 - Chân trời sáng tạo giới thiệu những khái niệm cơ bản về biến cố và xác suất, đặt nền móng cho việc nghiên cứu sâu hơn về thống kê và xác suất trong các chương tiếp theo. Việc hiểu rõ các khái niệm này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất một cách chính xác và hiệu quả.

1. Biến cố và không gian mẫu

Trước khi đi vào biến cố giao và quy tắc nhân xác suất, chúng ta cần nắm vững khái niệm về biến cố và không gian mẫu. Không gian mẫu (Ω) là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm. Biến cố (A) là một tập con của không gian mẫu, tức là tập hợp các kết quả thỏa mãn một điều kiện nhất định.

2. Biến cố giao

Biến cố giao (A ∩ B) của hai biến cố A và B là biến cố mà cả A và B đều xảy ra. Nói cách khác, kết quả của biến cố giao phải thuộc cả tập hợp A và tập hợp B. Ví dụ, nếu A là biến cố “tung đồng xu được mặt ngửa” và B là biến cố “tung đồng xu được mặt sấp”, thì A ∩ B là tập hợp rỗng (∅) vì không thể đồng thời có mặt ngửa và mặt sấp trong một lần tung đồng xu.

3. Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân xác suất là một công cụ quan trọng để tính xác suất của biến cố giao. Quy tắc này phát biểu rằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Trong đó:

• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B.
• P(A) là xác suất của biến cố A.
• P(B|A) là xác suất có điều kiện của biến cố B khi biến cố A đã xảy ra.

Lưu ý: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của B, tức là P(B|A) = P(B). Trong trường hợp này, quy tắc nhân xác suất trở thành:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả 2 quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ” và B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

P(A) = 5/8 (vì có 5 quả bóng đỏ trong tổng số 8 quả bóng)

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả bóng đỏ, còn lại 4 quả bóng đỏ trong tổng số 7 quả bóng)

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

5. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một đồng xu được tung 3 lần. Tính xác suất để được ít nhất 2 mặt ngửa.
2. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.6, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.
3. Trong một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ.

6. Kết luận

Bài 1. Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững các khái niệm và quy tắc trong bài học này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán về xác suất một cách hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng kiến thức vào thực tế để hiểu sâu hơn về môn học này.