Lý thuyết Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Biến cố giao và Quy tắc nhân xác suất - Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong chương trình Toán 11, phần xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất, một trong những kiến thức cốt lõi của chương này.

1. Biến cố giao

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố mà cả A và B đều xảy ra. Để hiểu rõ hơn, ta có thể xem xét ví dụ sau:

• A: Tung đồng xu được mặt sấp.
• B: Tung xúc xắc được mặt 6.

Biến cố giao A ∩ B là biến cố “Tung đồng xu được mặt sấp và tung xúc xắc được mặt 6”.

Xác suất của biến cố giao A ∩ B được tính như sau:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) (nếu A và B độc lập)

Nếu A và B không độc lập, ta sử dụng công thức xác suất có điều kiện:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó, P(B|A) là xác suất của B xảy ra khi A đã xảy ra.

2. Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc nhân xác suất là một công cụ mạnh mẽ để tính xác suất của biến cố giao. Quy tắc này có hai dạng:

1. Quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập: Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
2. Quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố không độc lập: Nếu A và B là hai biến cố không độc lập, thì P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải:

• Gọi A là biến cố “Quả bóng thứ nhất lấy được màu đỏ”.
• Gọi B là biến cố “Quả bóng thứ hai lấy được màu đỏ”.

Ta có: P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7 (vì sau khi lấy 1 quả đỏ, còn lại 4 quả đỏ và 7 quả bóng tổng cộng)

Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (5/8) * (4/7) = 20/56 = 5/14

Ví dụ 2: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.

Giải:

Các cặp số có tổng bằng 7 là: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Có tổng cộng 6 cặp.

Tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo hai con xúc xắc là 6 * 6 = 36.

Vậy, xác suất để tổng số chấm bằng 7 là 6/36 = 1/6.

4. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một túi chứa 4 quả bóng trắng và 6 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả bóng. Tính xác suất để cả 3 quả bóng đều màu đen.
• Bài 2: Gieo một đồng xu 3 lần. Tính xác suất để được ít nhất 2 mặt sấp.

5. Kết luận

Lý thuyết về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc đối phó với các bài toán thực tế.

Chúc bạn học tập tốt!