Bài 1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây - SGK Toán 10 - Cánh diều

Bài 1 trong chương V Đại số tổ hợp của SGK Toán 10 Cánh diều tập trung vào ba khái niệm cơ bản và quan trọng: quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây. Đây là nền tảng để giải quyết các bài toán đếm trong tổ hợp, một lĩnh vực quan trọng của toán học.

1. Quy tắc cộng

Quy tắc cộng phát biểu rằng nếu một công việc có thể được thực hiện theo một trong m cách, hoặc theo một trong n cách (không trùng nhau), thì tổng số cách thực hiện công việc đó là m + n.

Ví dụ: Một học sinh có 3 chiếc áo sơ mi và 2 chiếc quần. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?

Giải: Học sinh có 3 cách chọn áo và 2 cách chọn quần. Theo quy tắc cộng, số cách chọn một bộ quần áo là 3 + 2 = 5 cách.

2. Quy tắc nhân

Quy tắc nhân phát biểu rằng nếu một công việc có thể được thực hiện theo m cách, và sau đó một công việc khác có thể được thực hiện theo n cách, thì tổng số cách thực hiện cả hai công việc là m x n.

Ví dụ: Một người cần đi từ thành phố A đến thành phố B bằng ô tô hoặc tàu hỏa. Nếu đi bằng ô tô, người đó có 2 lựa chọn về tuyến đường. Nếu đi bằng tàu hỏa, người đó có 3 lựa chọn về tuyến đường. Hỏi người đó có bao nhiêu cách để đi từ A đến B?

Giải: Người đó có 2 cách đi bằng ô tô và 3 cách đi bằng tàu hỏa. Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến B là 2 x 3 = 6 cách.

3. Sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây là một công cụ trực quan giúp liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thí nghiệm hoặc một quá trình. Nó đặc biệt hữu ích khi giải các bài toán đếm phức tạp.

Ví dụ: Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp. Hãy vẽ sơ đồ hình cây để liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Giải:

• Lần gieo thứ nhất: Mặt ngửa (N) hoặc Mặt sấp (S)
• Lần gieo thứ hai: Mặt ngửa (N) hoặc Mặt sấp (S)

Sơ đồ hình cây:

Vậy có 4 kết quả có thể xảy ra: NN, NS, SN, SS.

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Một cửa hàng có 5 loại bánh khác nhau. Một khách hàng muốn mua 2 chiếc bánh khác loại. Hỏi khách hàng đó có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Khách hàng có 5 cách chọn chiếc bánh đầu tiên và 4 cách chọn chiếc bánh thứ hai. Tuy nhiên, vì thứ tự chọn không quan trọng (chọn bánh A rồi bánh B cũng giống như chọn bánh B rồi bánh A), ta cần chia đôi kết quả. Vậy số cách chọn là (5 x 4) / 2 = 10 cách.

Bài 2: Một đội bóng đá có 11 cầu thủ. Huấn luyện viên muốn chọn một đội trưởng và một phó đội trưởng. Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn?

Giải: Huấn luyện viên có 11 cách chọn đội trưởng và 10 cách chọn phó đội trưởng (vì đội trưởng và phó đội trưởng phải là những người khác nhau). Vậy số cách chọn là 11 x 10 = 110 cách.

5. Kết luận

Quy tắc cộng, quy tắc nhân và sơ đồ hình cây là những công cụ quan trọng trong Đại số tổ hợp. Việc nắm vững các khái niệm này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán đếm một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.