Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto

Bài 11. Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

Bài 11 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ: tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng không chỉ là một công cụ toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính.

1. Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vectơ a và b. Tích vô hướng của a và b, ký hiệu là a ⋅ b, được định nghĩa là:

a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| lần lượt là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Nếu a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂) thì:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂

Trong không gian, nếu a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) thì:

a ⋅ b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

3. Tính chất của tích vô hướng

• a ⋅ b = b ⋅ a (Tính giao hoán)
• a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (Tính phân phối đối với phép cộng)
• (ka) ⋅ b = k(a ⋅ b) (Tính chất đối với phép nhân với một số)
• a ⋅ a = |a|²

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|)
• Kiểm tra tính vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi a ⋅ b = 0
• Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là (a ⋅ b) / |b|

5. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho a = (2; -1) và b = (1; 3). Tính a ⋅ b.

Giải:a ⋅ b = 2*1 + (-1)*3 = 2 - 3 = -1

Bài 2: Cho a = (1; 2; 3) và b = (-1; 0; 2). Tính a ⋅ b.

Giải:a ⋅ b = 1*(-1) + 2*0 + 3*2 = -1 + 0 + 6 = 5

Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học vectơ, giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc, khoảng cách và tính vuông góc. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng là rất quan trọng để học tốt môn Toán 10.