Bài 2. Công thức nhân xác suất

Bài 2. Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11

Trong chương trình Toán 11 tập 2, chương IX về xác suất đóng vai trò quan trọng trong việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất, một công cụ hữu ích trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học.

1. Khái niệm về xác suất của biến cố

Trước khi đi sâu vào công thức nhân xác suất, chúng ta cần ôn lại khái niệm về xác suất của một biến cố. Xác suất của một biến cố A, ký hiệu là P(A), là một số thực nằm trong khoảng [0, 1], biểu thị khả năng xảy ra của biến cố đó. P(A) = 0 nghĩa là biến cố A không thể xảy ra, P(A) = 1 nghĩa là biến cố A chắc chắn xảy ra.

2. Công thức nhân xác suất

Công thức nhân xác suất là một công cụ quan trọng để tính xác suất của một biến cố phức tạp, được tạo thành từ nhiều biến cố đơn giản hơn. Giả sử A và B là hai biến cố độc lập, nghĩa là việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến việc xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Khi đó, xác suất của biến cố A và B cùng xảy ra, ký hiệu là P(A ∩ B), được tính theo công thức:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Nếu A và B không độc lập, ta sử dụng công thức xác suất có điều kiện:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) hoặc P(A ∩ B) = P(B) * P(A|B)

Trong đó, P(B|A) là xác suất của biến cố B xảy ra khi biến cố A đã xảy ra, và P(A|B) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biến cố B đã xảy ra.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn và lớn hơn 2.

Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện lớn hơn 2”. Các kết quả có thể xảy ra của A là {2, 4, 6}, do đó P(A) = 3/6 = 1/2. Các kết quả có thể xảy ra của B là {3, 4, 5, 6}, do đó P(B) = 4/6 = 2/3. Các kết quả thỏa mãn cả hai biến cố A và B là {4, 6}, do đó P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.

Ta cũng có thể tính P(A ∩ B) bằng công thức: P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A). Trong trường hợp này, P(B|A) = 2/3 (vì trong các số chẵn, có 2 số lớn hơn 2). Do đó, P(A ∩ B) = (1/2) * (2/3) = 1/3.

Ví dụ 2: Rút ngẫu nhiên hai lá bài từ một bộ bài 52 lá. Tính xác suất để cả hai lá bài đều là át.

Gọi A là biến cố “lá bài thứ nhất là át” và B là biến cố “lá bài thứ hai là át”. P(A) = 4/52 = 1/13. Nếu lá bài thứ nhất là át, thì còn lại 3 át trong 51 lá bài. Do đó, P(B|A) = 3/51 = 1/17. Vậy, P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = (1/13) * (1/17) = 1/221.

4. Bài tập vận dụng

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Gieo hai con xúc xắc sáu mặt một lần. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 7.
3. Một người bắn súng. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng mục tiêu cả 3 phát.

5. Kết luận

Công thức nhân xác suất là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất. Việc nắm vững công thức và hiểu rõ các điều kiện áp dụng sẽ giúp các em tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình Toán 11 và các ứng dụng thực tế.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích về công thức nhân xác suất. Chúc các em học tập tốt!