Bài 2. Định lí cosin và định lí sin

Bài 2. Định lí cosin và định lí sin - SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương IV của SGK Toán 10 - Chân trời sáng tạo tập trung vào hai định lí quan trọng trong hình học: định lí cosin và định lí sin. Hai định lí này đóng vai trò then chốt trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là khi biết một số cạnh và góc của tam giác.

1. Định lí cosin

Định lí cosin là một công cụ mạnh mẽ để tìm mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ. Phát biểu của định lí như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc của tam giác.

Ứng dụng của định lí cosin:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh.

2. Định lí sin

Định lí sin thiết lập mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện. Phát biểu của định lí như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Ứng dụng của định lí sin:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài các cạnh và góc đối diện.

3. Mối quan hệ giữa định lí cosin và định lí sin

Định lí cosin và định lí sin là hai công cụ bổ trợ cho nhau trong việc giải các bài toán về tam giác. Tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cung cấp, chúng ta có thể sử dụng một trong hai định lí hoặc kết hợp cả hai để tìm ra lời giải.

4. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc A = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5 = 74 - 35 = 39

BC = √39 ≈ 6.24cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45^o, góc C = 60^o. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Ta có góc A = 180^o - (B + C) = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o

Áp dụng định lí sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

AB = BC.sinC/sinA = 8.sin60^o/sin75^o ≈ 8.0.866/0.966 ≈ 7.16cm

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về định lí cosin và định lí sin, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong SGK, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online như toan11.edu.vn.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về định lí cosin và định lí sin. Chúc các em học tập tốt!