Bài 2. Định lí côsin và định lí sin

Bài 2. Định lí côsin và định lí sin - SBT Toán 10 - Chân trời sáng tạo: Giải thích chi tiết và ứng dụng

Bài 2 trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo tập trung vào hai định lý quan trọng trong hình học: định lý côsin và định lý sin. Hai định lý này đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là khi chúng ta biết một số cạnh và góc của tam giác.

1. Định lý côsin

Định lý côsin là một công cụ mạnh mẽ để tìm mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác bất kỳ. Phát biểu của định lý như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

• a² = b² + c² - 2bc.cosA
• b² = a² + c² - 2ac.cosB
• c² = a² + b² - 2ab.cosC

Trong đó:

• a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.
• A, B, C là số đo ba góc của tam giác.

Định lý côsin được sử dụng để:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài ba cạnh.

2. Định lý sin

Định lý sin thiết lập mối quan hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác và sin của các góc đối diện. Phát biểu của định lý như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Định lý sin được sử dụng để:

• Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
• Tính số đo một góc khi biết độ dài các cạnh và góc đối diện.

3. Ứng dụng của định lý côsin và định lý sin

Hai định lý này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:

• Giải các bài toán về đo đạc chiều cao, khoảng cách.
• Tính góc nâng, góc hạ.
• Xây dựng bản đồ, định vị.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, góc BAC = 60^o. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý côsin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosBAC

BC² = 5² + 7² - 2.5.7.cos60^o

BC² = 25 + 49 - 70.0.5 = 74 - 35 = 39

BC = √39 ≈ 6.24cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 8cm, góc B = 45^o, góc C = 60^o. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Ta có góc A = 180^o - B - C = 180^o - 45^o - 60^o = 75^o

Áp dụng định lý sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

AB = BC.sinC/sinA = 8.sin60^o/sin75^o ≈ 8.0.866/0.966 ≈ 7.16cm

5. Luyện tập và củng cố

Để nắm vững kiến thức về định lý côsin và định lý sin, các em nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Các em có thể tìm thấy các bài tập trong sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo, hoặc trên các trang web học toán online.

Việc hiểu rõ và áp dụng thành thạo hai định lý này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác hơn.

Chúc các em học tập tốt!