Bài 3. Cấp số nhân

Bài 3. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, các tính chất và ứng dụng của cấp số nhân trong chương trình Toán 11 tập 1, sách Chân trời sáng tạo.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân: S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q) nếu q ≠ 1
• Tổng vô hạn của cấp số nhân: S = a / (1 - q) nếu |q| < 1

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 5 của cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3.

Áp dụng công thức u_n = a.q^n-1, ta có: u₅ = 2.3^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Ví dụ 2: Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = 2.

Áp dụng công thức S_n = a(1 - qⁿ) / (1 - q), ta có: S₁₀ = 1(1 - 2¹⁰) / (1 - 2) = (1 - 1024) / (-1) = 1023

4. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính lãi kép trong ngân hàng
• Tính sự tăng trưởng dân số
• Tính sự phân rã của các chất phóng xạ

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc trên các trang web học toán online.

6. Tổng kết

Bài học về cấp số nhân đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số đặc biệt này. Hy vọng rằng bạn đã hiểu rõ định nghĩa, các tính chất và ứng dụng của cấp số nhân. Chúc bạn học tập tốt!