Bài 3. Tính chất đường phân giác trong của tam giác

Bài 3. Tính chất đường phân giác trong của tam giác - SGK Toán 8

1. Khái niệm đường phân giác trong tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác trong là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh của tam giác đến cạnh đối diện và chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của đỉnh đó. Nói cách khác, nếu tam giác ABC có AD là đường phân giác trong (D nằm trên BC) thì:

AB/AC = BD/DC

2. Tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác trong tam giác được thể hiện qua định lý sau:

Định lý: Nếu AD là đường phân giác trong của tam giác ABC thì:

• AB/AC = BD/DC
• AB/BD = AC/DC
• BC = BD + DC

3. Chứng minh định lý

Chứng minh: (Có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng hoặc sử dụng diện tích)

Cách 1: Sử dụng tam giác đồng dạng

Kẻ đường thẳng AE song song với BC (E nằm trên CD). Khi đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác CDB (g.g). Từ đó suy ra tỉ lệ thức AB/BD = AE/DC. Vì AE song song BC nên AE/DC = AC/BC. Kết hợp hai tỉ lệ thức trên, ta được AB/BD = AC/DC.

Cách 2: Sử dụng diện tích

Gọi S_ABD là diện tích tam giác ABD và S_ACD là diện tích tam giác ACD. Vì AD là đường phân giác nên S_ABD/S_ACD = BD/DC. Mặt khác, S_ABD = (1/2)AB.AD.sin(BAD) và S_ACD = (1/2)AC.AD.sin(CAD). Vì AD là đường phân giác nên góc BAD = góc CAD. Do đó, S_ABD/S_ACD = AB/AC. Từ đó suy ra AB/AC = BD/DC.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác trong tam giác

Tính chất đường phân giác trong tam giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ thức, tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh các đẳng thức hình học.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 9cm và BC = 10cm. AD là đường phân giác trong của tam giác ABC. Tính BD và DC.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3

Mà BD + DC = BC = 10cm. Đặt BD = 2x và DC = 3x. Khi đó, 2x + 3x = 10cm, suy ra 5x = 10cm, do đó x = 2cm.

Vậy BD = 2x = 4cm và DC = 3x = 6cm.

5. Bài tập vận dụng

1. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. AD là đường phân giác trong của tam giác ABC. Tính BD và DC.
2. Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm. AD là đường phân giác trong của tam giác ABC. Tính tỉ số BD/DC.
3. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 6cm. AD là đường phân giác trong của tam giác ABC. Tính độ dài AD (gợi ý: sử dụng định lý cosin).

6. Kết luận

Bài học về tính chất đường phân giác trong tam giác là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tốt!