Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Bài 33. Đạo hàm cấp hai - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 33 trong sách giáo khoa Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc tìm hiểu về đạo hàm cấp hai của một hàm số. Đạo hàm cấp hai, ký hiệu là f''(x) hoặc y'', là đạo hàm của đạo hàm cấp nhất f'(x) hoặc y'. Nó cung cấp thông tin về độ dốc của đường tiếp tuyến của đạo hàm cấp nhất, từ đó giúp phân tích sự thay đổi của tốc độ biến thiên của hàm số gốc.

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của một khoảng I, và đạo hàm f'(x) cũng có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng I, thì đạo hàm của f'(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) trên khoảng I, ký hiệu là f''(x) hoặc y''.

Công thức tính đạo hàm cấp hai:

f''(x) = (f'(x))'

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai có ý nghĩa quan trọng trong việc:

• Xác định tính lồi - lõm của đồ thị hàm số:
  • Nếu f''(x) > 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.
  • Nếu f''(x) < 0 trên một khoảng, đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.
  • Nếu f''(x) = 0 tại một điểm, điểm đó có thể là điểm uốn của đồ thị hàm số.
• Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số thay đổi từ lồi sang lõm hoặc ngược lại.
• Nghiên cứu sự biến thiên của đạo hàm cấp nhất: Đạo hàm cấp hai cho biết đạo hàm cấp nhất tăng hay giảm, từ đó giúp dự đoán hình dạng của đồ thị hàm số.

3. Quy tắc tính đạo hàm cấp hai

Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm cấp nhất f'(x).
2. Tính đạo hàm của f'(x) để được đạo hàm cấp hai f''(x).

Các quy tắc tính đạo hàm cơ bản vẫn được áp dụng khi tính đạo hàm cấp hai, bao gồm:

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
• Quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
• Đạo hàm của các hàm số cơ bản (hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x³ - 2x² + 5x - 1.

Giải:

Đạo hàm cấp nhất: y' = 3x² - 4x + 5

Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 4

Ví dụ 2: Tìm khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 4x³ + 6x² - 4x + 1 lồi.

Giải:

Đạo hàm cấp nhất: y' = 4x³ - 12x² + 12x - 4

Đạo hàm cấp hai: y'' = 12x² - 24x + 12 = 12(x - 1)²

Vì y'' = 12(x - 1)² ≥ 0 với mọi x, nên đồ thị hàm số lồi trên R.

5. Bài tập vận dụng

Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về đạo hàm cấp hai:

• Bài 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin(2x).
• Bài 2: Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2.
• Bài 3: Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y = x⁴ - 2x² + 1 lõm.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đạo hàm cấp hai và ứng dụng của nó. Chúc bạn học tốt!