Bài 5. Phép quay

Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các đối xứng và các phép biến đổi hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép quay trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

1. Định nghĩa phép quay

Trong mặt phẳng, phép quay Q(O, θ) quanh điểm O với góc θ (độ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho:

• OM = OM’
• Góc xOM = xOM’ + θ (với chiều dương của đường tròn lượng giác là ngược chiều kim đồng hồ)

Trong đó:

• O là tâm quay
• θ là góc quay

2. Tính chất của phép quay

Phép quay có những tính chất quan trọng sau:

• Bảo toàn khoảng cách: M’N’ = MN với mọi M, N
• Bảo toàn góc: (M’N’, M’P’) = (MN, MP) với mọi M, N, P
• Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Biến tam giác thành tam giác có cùng kích thước và hình dạng.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Cho điểm M(x, y) và tâm quay O(0, 0). Khi đó, tọa độ điểm M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép quay Q(O, θ) được tính bởi công thức:

x’ = xcosθ - ysinθ

y’ = xsinθ + ycosθ

Nếu tâm quay không phải là gốc tọa độ, ta cần tịnh tiến hệ tọa độ về tâm quay trước khi áp dụng công thức trên.

4. Các dạng bài tập thường gặp

4.1. Xác định ảnh của điểm qua phép quay

Đây là dạng bài tập cơ bản nhất, yêu cầu học sinh áp dụng trực tiếp công thức tọa độ của phép quay để tìm tọa độ ảnh của một điểm cho trước.

Ví dụ: Cho điểm A(2, 3) và phép quay Q(O, 90°). Tìm tọa độ ảnh A’ của A qua phép quay.

Giải:

x’ = 2cos90° - 3sin90° = -3

y’ = 2sin90° + 3cos90° = 2

Vậy A’(-3, 2)

4.2. Xác định tâm quay và góc quay

Dạng bài tập này yêu cầu học sinh suy luận từ thông tin về ảnh của một điểm hoặc một hình để xác định tâm quay và góc quay.

4.3. Bài tập ứng dụng

Các bài tập ứng dụng thường liên quan đến việc sử dụng phép quay để giải các bài toán hình học, chẳng hạn như tìm ảnh của một đường thẳng, một đường tròn, hoặc một tam giác qua phép quay.

5. Luyện tập

Để nắm vững kiến thức về phép quay, các em cần luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau. Dưới đây là một số bài tập gợi ý:

1. Cho điểm B(-1, 2) và phép quay Q(O, -45°). Tìm tọa độ ảnh B’ của B qua phép quay.
2. Tìm tâm quay và góc quay của phép biến hình biến điểm C(1, 0) thành điểm C’(0, 1).
3. Cho tam giác ABC với A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay Q(O, 180°).

6. Kết luận

Bài học về phép quay là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Chân trời sáng tạo. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và công thức tọa độ của phép quay sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên và tìm kiếm sự hỗ trợ từ giáo viên hoặc các nguồn tài liệu học tập khác để đạt được kết quả tốt nhất. toan11.edu.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức.