Bài 6. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 6. Tính chất ba đường trung trực của tam giác - SGK Toán 7 - Chân trời sáng tạo

1. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó. Để xác định đường trung trực, ta cần tìm trung điểm của đoạn thẳng và dựng một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm đó.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

2. Tính chất của đường trung trực

Mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Ngược lại, mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Chứng minh:

1. Chiều thuận: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB, d là đường trung trực của AB. Lấy điểm I bất kỳ trên d. Ta cần chứng minh IA = IB.
2. Chiều nghịch: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lấy điểm I sao cho IA = IB. Ta cần chứng minh I nằm trên đường trung trực của AB.

3. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Ba đường trung trực của ba cạnh của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Chứng minh:

Gọi tam giác ABC có ba đường trung trực là d₁, d₂, d₃ tương ứng với các cạnh BC, CA, AB. Gọi O là giao điểm của d₁ và d₂. Ta chứng minh O nằm trên d₃.

Vì O nằm trên d₁ nên OB = OC. Vì O nằm trên d₂ nên OA = OC. Suy ra OA = OB. Do đó, O nằm trên đường trung trực của AB, tức là O nằm trên d₃.

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Vẽ ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, CA. Ba đường trung trực này cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng OA = OB = OC.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh rằng M, N, P cùng nằm trên một đường tròn.

5. Mở rộng và ứng dụng

Tính chất ba đường trung trực của tam giác có nhiều ứng dụng trong hình học, đặc biệt là trong việc xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Nắm vững tính chất này giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tam giác và đường tròn.

Ngoài ra, kiến thức về đường trung trực và tính chất của nó còn được ứng dụng trong thực tế, ví dụ như trong việc thiết kế các công trình kiến trúc, xây dựng cầu đường,...

6. Tổng kết

Bài học hôm nay đã giúp các em hiểu rõ về đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất của đường trung trực và tính chất ba đường trung trực của tam giác. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các em sẽ tự tin hơn trong việc giải các bài tập liên quan đến chủ đề này.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!