Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

Bài 8 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 tập trung vào một trong những phép toán cơ bản và quan trọng nhất trong vectơ: tổng và hiệu của hai vectơ. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng cần thiết để giải quyết các bài toán hình học và vật lý liên quan đến vectơ.

1. Định nghĩa tổng của hai vectơ

Tổng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a + b, là một vectơ được xác định theo quy tắc hình bình hành. Cụ thể:

• Vẽ hình bình hành ABCD với AB = a và AD = b.
• Đường chéo AC chính là vectơ tổng a + b.

Ngoài ra, tổng của hai vectơ cũng có thể được tính bằng quy tắc tam giác. Nếu AB = a và BC = b, thì AC = a + b.

2. Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Hiệu của hai vectơ a và b, ký hiệu là a - b, là một vectơ được xác định như sau:

a - b = a + (-b)

Trong đó, -b là vectơ đối của vectơ b. Để tìm vectơ hiệu, ta có thể sử dụng quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác tương tự như quy tắc cộng vectơ.

3. Tính chất của phép cộng và phép trừ vectơ

Phép cộng và phép trừ vectơ có những tính chất quan trọng sau:

• Tính giao hoán: a + b = b + a
• Tính kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c)
• Vectơ không là phần tử trung hòa của phép cộng: a + 0 = a
• Vectơ đối là phần tử đối của phép cộng: a + (-a) = 0

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2, 3) và b = (-1, 1). Tính a + b và a - b.

Giải:

• a + b = (2 + (-1), 3 + 1) = (1, 4)
• a - b = (2 - (-1), 3 - 1) = (3, 2)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MA + MB = 0.

Giải:

Vì M là trung điểm của BC, nên MB = -MC. Do đó, MA + MB = MA - MC = CA = -AC. Tuy nhiên, cần xem xét lại cách chứng minh này. Một cách chứng minh chính xác hơn là sử dụng quy tắc hình bình hành. Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. Khi đó, MA + MB = MA + BM = BA. Điều này không bằng 0 trừ khi A trùng B.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về tổng và hiệu của hai vectơ, bạn có thể thực hành các bài tập sau:

1. Cho hai vectơ a = (1, -2) và b = (3, 4). Tính a + b và a - b.
2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính độ dài của vectơ AC và BD.
3. Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng GA + GB + GC = 0.

6. Kết luận

Bài học về tổng và hiệu của hai vectơ là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng kiến thức về vectơ. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của các phép toán vectơ sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học và vật lý một cách hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!