Bài tập cuối chương 8

Bài tập cuối chương 8 - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Quan hệ vuông góc trong không gian

Chương 8 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào một trong những chủ đề quan trọng nhất của hình học không gian: Quan hệ vuông góc trong không gian. Việc nắm vững các định lý, tính chất và phương pháp giải bài tập liên quan đến quan hệ vuông góc là nền tảng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong chương trình học.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi bắt đầu giải bài tập, chúng ta cần ôn lại những kiến thức lý thuyết cơ bản:

• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
• Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 90 độ.
• Đường thẳng vuông góc với đường thẳng: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90 độ.
• Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có một đường thẳng d vuông góc với (P) và cũng vuông góc với (Q).

II. Các dạng bài tập thường gặp

Trong chương này, các bài tập thường xoay quanh các dạng sau:

1. Chứng minh sự vuông góc: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
2. Tính góc: Tính góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, hoặc góc giữa hai mặt phẳng.
3. Xác định điều kiện: Xác định điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
4. Ứng dụng: Giải các bài toán thực tế liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.

III. Hướng dẫn giải một số bài tập tiêu biểu

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

1. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
2. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
3. Do đó, AC ⊥ (SAC). Suy ra SC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAC).
4. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SC và hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABCD), tức là góc SCO.
5. Trong tam giác vuông SAC, ta có tan(SCO) = SA/OC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra SCO ≈ 35.26 độ.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau theo đường thẳng d. Trên (P) lấy điểm A, trên (Q) lấy điểm B. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng d.

Lời giải:

Bài toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về tính chất của hai mặt phẳng vuông góc và cách sử dụng hình chiếu. Lời giải chi tiết sẽ được trình bày trong sách bài tập.

IV. Lời khuyên khi giải bài tập

• Vẽ hình: Luôn vẽ hình minh họa cho bài toán để dễ dàng hình dung và tìm ra hướng giải.
• Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ các định lý, tính chất và công thức liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian.
• Sử dụng các công cụ hỗ trợ: Sử dụng thước, compa, và các phần mềm hình học để kiểm tra và xác minh kết quả.
• Luyện tập thường xuyên: Giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng và làm quen với các dạng bài tập.

Hy vọng với những kiến thức và hướng dẫn trên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài tập trong Bài tập cuối chương 8 - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúc bạn học tốt!