Bài 1. Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

I. Giới thiệu chung về xác suất

Xác suất là một khái niệm quan trọng trong toán học và thống kê, được sử dụng để đo lường khả năng xảy ra của một sự kiện. Trong chương trình Toán 11, chúng ta bắt đầu làm quen với các khái niệm cơ bản về xác suất, bao gồm không gian mẫu, biến cố, và các phép toán trên biến cố.

II. Biến cố giao

1. Định nghĩa

Cho hai biến cố A và B. Biến cố giao của A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố mà cả A và B đều xảy ra. Nói cách khác, A ∩ B là tập hợp các kết quả thuộc cả A và B.

2. Ví dụ

Ví dụ: Gieo một con xúc xắc. A là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn”, B là biến cố “mặt xúc xắc ra số lớn hơn 3”. Khi đó, A ∩ B là biến cố “mặt xúc xắc ra số chẵn lớn hơn 3”, tức là mặt xúc xắc ra 4 hoặc 6.

III. Quy tắc nhân xác suất

1. Quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập, thì xác suất của biến cố A ∩ B được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó, P(A) là xác suất của biến cố A, P(B) là xác suất của biến cố B.

2. Quy tắc nhân xác suất cho hai biến cố phụ thuộc

Nếu A và B là hai biến cố phụ thuộc, thì xác suất của biến cố A ∩ B được tính bằng:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)

Trong đó, P(A) là xác suất của biến cố A, P(B|A) là xác suất của biến cố B khi biết A đã xảy ra.

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để cả hai con xúc xắc đều ra mặt 6.

Giải: Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất ra mặt 6”, B là biến cố “con xúc xắc thứ hai ra mặt 6”. Vì hai biến cố A và B độc lập, nên:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 1/6 * 1/6 = 1/36

Ví dụ 2: Trong một hộp có 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.

Giải: Gọi A là biến cố “quả bóng thứ nhất lấy ra màu đỏ”, B là biến cố “quả bóng thứ hai lấy ra màu đỏ”. Vì hai biến cố A và B phụ thuộc, nên:

P(A) = 5/8

P(B|A) = 4/7

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = 5/8 * 4/7 = 5/14

IV. Bài tập vận dụng

1. Một hộp có 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để 2 quả bóng lấy ra đều là màu đen.
2. Gieo một đồng xu hai lần. Tính xác suất để cả hai lần đều ra mặt ngửa.
3. Một người bắn súng vào bia. Xác suất bắn trúng bia của người đó là 0.8. Người đó bắn 3 phát. Tính xác suất để người đó bắn trúng bia cả 3 lần.

V. Kết luận

Bài học về biến cố giao và quy tắc nhân xác suất là nền tảng quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất. Việc nắm vững các khái niệm và công thức trong bài học này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán xác suất một cách hiệu quả và chính xác.