Bài 1. Dãy số

Bài 1. Dãy số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm dãy số, các cách biểu diễn dãy số và các loại dãy số đặc biệt như dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn. Việc nắm vững kiến thức này là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số và cấp số trong chương trình học.

1. Khái niệm dãy số

Một dãy số là một hàm số được xác định trên tập hợp các số tự nhiên hoặc một tập hợp con của nó và có giá trị là các số thực. Dãy số thường được ký hiệu là (u_n), trong đó u_n là số hạng thứ n của dãy số.

2. Các cách biểu diễn dãy số

• Biểu diễn bằng công thức tổng quát: u_n = f(n), trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n.
• Biểu diễn bằng phương pháp đệ quy: u₁ = a, u_n+1 = f(u_n), trong đó a là số hạng đầu tiên và f(u_n) là công thức tính số hạng thứ n+1 dựa trên số hạng thứ n.
• Biểu diễn bằng cách liệt kê các số hạng: (u₁, u₂, u₃, ...).

3. Các loại dãy số đặc biệt

a. Dãy số tăng

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n.

b. Dãy số giảm

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n.

c. Dãy số bị chặn

Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n. Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n. Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2n + 1. Hãy xác định dãy số này là dãy số tăng, giảm hay không bị chặn?

Ta có u_n+1 = 2(n+1) + 1 = 2n + 3. Vì 2n + 3 > 2n + 1 với mọi n, nên dãy số (u_n) là dãy số tăng. Hơn nữa, dãy số này không bị chặn trên vì u_n tiến tới vô cùng khi n tiến tới vô cùng.

Ví dụ 2: Cho dãy số (v_n) với v_n = 1/n. Hãy xác định dãy số này là dãy số tăng, giảm hay không bị chặn?

Ta có v_n+1 = 1/(n+1). Vì 1/(n+1) < 1/n với mọi n, nên dãy số (v_n) là dãy số giảm. Dãy số này bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi 0.

5. Bài tập áp dụng

1. Xác định xem dãy số (a_n) với a_n = 3n - 2 có phải là dãy số tăng, giảm hay không bị chặn?
2. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số (b_n) với b₁ = 1 và b_n+1 = b_n + 2.
3. Cho dãy số (c_n) với c_n = 5 - 2n. Dãy số này có bị chặn không?

6. Kết luận

Bài 1. Dãy số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo đã cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng về dãy số. Việc hiểu rõ các khái niệm, tính chất và các loại dãy số đặc biệt sẽ giúp các em giải quyết các bài toán liên quan đến dãy số một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!