Chào mừng bạn đến với toan11.edu.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập Toán 11. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải bài 5 trang 58 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Chúng tôi hiểu rằng việc giải toán đôi khi có thể gặp khó khăn. Vì vậy, chúng tôi đã biên soạn lời giải bài 5 trang 58 một cách cẩn thận, kèm theo các bước giải chi tiết và giải thích rõ ràng.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau: a) \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\); b) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\); c) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).
Đề bài
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau:
a) \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\);
b) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\);
c) \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho \(m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*\).
Lời giải chi tiết
a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 13}}{{3\left( {n + 1} \right) - 2}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)\( = \frac{{35}}{{\left( {3n + 1} \right)\left( {3n - 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3\left( {3n - 2} \right)}}\), suy ra: \( - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3\left( {n + 1} \right) + 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)\( = \frac{{{n^2} + 5n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {{n^2} + 5n + 5} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {{n^2} + 3n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\)\( = \frac{{{n^2} + 3n + 3}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Lại có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 1}}{{n + 1}} > \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{n + 1}} = n + 1 \ge 2\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn dưới.
c) Ta có: \({u_n} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} }}}}{{\frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }}}}\)\( = \sqrt {\frac{{1 + n + {n^2}}}{{{n^2} + 3n + 3}}} < 1\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
Lại có: \(n \ge 1,{n^2} \ge 1\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow {n^2} + n + 1 \ge 3\;\forall n \in \mathbb{N}*\)\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }} \le \frac{1}{3}\;\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \(0 < \frac{1}{{\sqrt {1 + n + {n^2}} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\forall n \in \mathbb{N}*\). Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.
Bài 5 trang 58 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 thuộc chương trình học về hàm số bậc hai. Để giải bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về:
Trước khi bắt đầu giải bài tập, hãy đọc kỹ đề bài và xác định yêu cầu của bài toán. Bài 5 trang 58 thường yêu cầu chúng ta:
Để minh họa, giả sử bài 5 yêu cầu chúng ta xét hàm số y = x2 - 4x + 3.
Trong hàm số y = x2 - 4x + 3, ta có:
Tọa độ đỉnh của parabol có dạng I(x0; y0), trong đó:
Vậy, tọa độ đỉnh của parabol là I(2; -1).
Để vẽ đồ thị hàm số, ta cần xác định thêm một số điểm thuộc parabol. Ví dụ:
Dựa vào các điểm này, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x2 - 4x + 3.
Bài tập có thể yêu cầu chúng ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, hoặc giải các phương trình, bất phương trình liên quan đến hàm số bậc hai. Để giải các bài toán này, chúng ta cần sử dụng các kiến thức về tính chất của parabol và các phương pháp giải phương trình, bất phương trình đã học.
Ngoài bài tập về tìm tọa độ đỉnh và vẽ đồ thị, bài 5 trang 58 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
Để giải các bài tập này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức về:
Khi giải bài tập về hàm số bậc hai, bạn cần lưu ý một số điều sau:
Bài 5 trang 58 sách bài tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số bậc hai. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn sẽ giải bài tập này một cách dễ dàng và hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
