Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - SGK Toán 11 - Cánh diều

I. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, ký hiệu là f'(x₀), là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi độ biến thiên của đối số tiến tới 0 (nếu giới hạn này tồn tại).

Công thức: f'(x₀) = lim_Δx→0 [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm f'(x₀) của hàm số f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x₀.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại x = 2.

Giải:

1. f(x + Δx) = (x + Δx)² = x² + 2xΔx + (Δx)²
2. f(x + Δx) - f(x) = x² + 2xΔx + (Δx)² - x² = 2xΔx + (Δx)²
3. [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 2x + Δx
4. lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = lim_Δx→0 (2x + Δx) = 2x
5. Vậy, f'(x) = 2x. Do đó, f'(2) = 2 * 2 = 4

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 1. Tìm đạo hàm của f(x) và giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm tại x = 1.

Giải:

1. f(x + Δx) = 3(x + Δx) + 1 = 3x + 3Δx + 1
2. f(x + Δx) - f(x) = 3x + 3Δx + 1 - (3x + 1) = 3Δx
3. [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 3
4. lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = lim_Δx→0 3 = 3
5. Vậy, f'(x) = 3.

Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f'(x) = 3 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = 3x + 1 tại mọi điểm x, bao gồm cả điểm x = 1. Do đó, tiếp tuyến tại x = 1 có độ dốc là 3.

IV. Luyện tập

• Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x³ tại x = -1.
• Bài 2: Cho hàm số f(x) = 2x² - 5x + 3. Tìm đạo hàm của f(x) tại x = 0.
• Bài 3: Giải thích ý nghĩa hình học của đạo hàm f'(x) tại x = 2 cho hàm số f(x) = x² - 4x + 1.

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã giúp chúng ta hiểu rõ định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học quan trọng của nó. Đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!