Bài 1. Phép biến hình

I. Giới thiệu chung về phép biến hình

Trong hình học, phép biến hình là một sự biến đổi các điểm trong mặt phẳng sao cho mỗi điểm ban đầu được ánh xạ tới một điểm mới. Phép biến hình đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất hình học của các đối tượng, đặc biệt là trong việc chứng minh sự tương đương giữa các hình.

1. Định nghĩa phép biến hình

Một phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc xác định tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm M' duy nhất, ký hiệu là f(M) = M'.

2. Các loại phép biến hình cơ bản

• Phép tịnh tiến: Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép quay: Phép biến hình quanh một điểm cố định (tâm quay) một góc cho trước.
• Phép đối xứng qua một đường thẳng: Phép biến hình qua một đường thẳng (trục đối xứng).
• Phép đối xứng qua một điểm: Phép biến hình qua một điểm (tâm đối xứng).

II. Phép tịnh tiến

1. Định nghĩa phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = v.

2. Tính chất của phép tịnh tiến

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Nếu M(x; y) và v = (a; b) thì M'(x + a; y + b).

III. Phép quay

1. Định nghĩa phép quay

Phép quay tâm O góc α (α đo theo độ, chiều dương là ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM = OM' và góc xOM = α.

2. Tính chất của phép quay

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Nếu M(x; y) và O(0; 0) thì M'(x cos α - y sin α; x sin α + y cos α).

IV. Phép đối xứng qua một đường thẳng

1. Định nghĩa phép đối xứng qua một đường thẳng

Phép đối xứng qua đường thẳng Δ là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho Δ là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất của phép đối xứng qua một đường thẳng

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua một đường thẳng

(Công thức phức tạp, cần xem sách giáo khoa để hiểu rõ)

V. Phép đối xứng qua một điểm

1. Định nghĩa phép đối xứng qua một điểm

Phép đối xứng qua điểm I là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

2. Tính chất của phép đối xứng qua một điểm

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua một điểm

Nếu M(x; y) và I(a; b) thì M'(2a - x; 2b - y).

VI. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức về phép biến hình, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

1. Tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1).
2. Tìm ảnh của điểm B(-2; 3) qua phép quay tâm O góc 90 độ.
3. Xác định phương trình đường thẳng là ảnh của đường thẳng x + y - 1 = 0 qua phép đối xứng qua trục Ox.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép biến hình. Chúc bạn học tập tốt!