Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Bài 1: Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ - SGK Toán 11 Nâng cao

I. Khái niệm vectơ trong không gian

Trong không gian Oxyz, một vectơ được xác định bởi một cặp điểm A và B, ký hiệu là AB. Vectơ AB có các đặc trưng sau:

• Điểm gốc A: Là điểm bắt đầu của vectơ.
• Điểm cuối B: Là điểm kết thúc của vectơ.
• Hướng: Là hướng từ A đến B.
• Độ dài: Là khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu là |AB|.

Một vectơ cũng có thể được biểu diễn bằng tọa độ trong không gian Oxyz. Nếu A(x_A, y_A, z_A) và B(x_B, y_B, z_B) thì AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A).

II. Các phép toán trên vectơ trong không gian

Tương tự như trong mặt phẳng, các vectơ trong không gian cũng có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân với một số thực.

1. Phép cộng vectơ:AB + CD = (x_B - x_A + x_D - x_C, y_B - y_A + y_D - y_C, z_B - z_A + z_D - z_C)
2. Phép trừ vectơ:AB - CD = (x_B - x_A - (x_D - x_C), y_B - y_A - (y_D - y_C), z_B - z_A - (z_D - z_C))
3. Phép nhân với một số thực: kAB = (k(x_B - x_A), k(y_B - y_A), k(z_B - z_A))

III. Điều kiện đồng phẳng của các vectơ

Ba vectơ a, b, c được gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ a, b, c đồng phẳng là tồn tại các số thực α và β sao cho c = αa + βb.

Một cách khác để kiểm tra điều kiện đồng phẳng là tính định thức hỗn tạp của ba vectơ. Nếu định thức hỗn tạp bằng 0 thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Định thức hỗn tạp: [a, b, c] = a . (b x c)

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho A(1; 2; 3), B(2; 4; 5), C(3; 6; 7). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải:

AB = (1; 2; 2)

AC = (2; 4; 4)

Ta thấy AC = 2AB, do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 2: Cho a = (1; -2; 3), b = (2; 1; 0), c = (3; -1; 3). Chứng minh rằng ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Giải:

Tính định thức hỗn tạp:

[a, b, c] = 1(1*3 - 0*(-1)) - (-2)(2*3 - 0*3) + 3(2*(-1) - 1*3) = 3 + 12 - 15 = 0

Vậy ba vectơ a, b, c đồng phẳng.