Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ - SBT Toán 10 - Kết nối tri thức

1. Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu là a.b, là một số thực được tính bằng công thức:

a.b = |a||b|cos(θ)

Trong đó:

• |a| và |b| là độ dài của vectơ a và b.
• θ là góc giữa hai vectơ a và b.

2. Tính chất của tích vô hướng

• a.b = b.a (Tính giao hoán)
• a.(b + c) = a.b + a.c (Tính phân phối đối với phép cộng)
• (ka).b = k(a.b) (Tính chất đối với phép nhân với một số thực)
• Nếu a vuông góc với b thì a.b = 0

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a = (x₁; y₁) và b = (x₂; y₂). Tích vô hướng của a và b được tính bằng công thức:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂

4. Ứng dụng của tích vô hướng

• Tính góc giữa hai vectơ: cos(θ) = (a.b) / (|a||b|)
• Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b.
• Tính diện tích của hình bình hành: Diện tích = |a x b| (trong đó a x b là tích có hướng của hai vectơ)
• Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác: Hình chiếu của a lên b là (a.b) / |b|

5. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (2; 3) và b = (-1; 4). Tính tích vô hướng của a và b.

Giải:

a.b = (2)(-1) + (3)(4) = -2 + 12 = 10

Ví dụ 2: Cho hai vectơ a = (1; -1) và b = (2; 2). Tính góc giữa hai vectơ này.

Giải:

|a| = √(1² + (-1)²) = √2

|b| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

a.b = (1)(2) + (-1)(2) = 0

cos(θ) = 0 / (√2 * 2√2) = 0

θ = 90^o

Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

6. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11. Tích vô hướng của hai vectơ. Chúc bạn học tốt!

Lưu ý: Bài viết này cung cấp kiến thức cơ bản về tích vô hướng. Để hiểu sâu hơn, bạn nên tham khảo thêm tài liệu và luyện tập thường xuyên.