Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

Bài 2. Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất - Giải Toán 11 Tập 2 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương IX của sách Toán 11 tập 2, Chân trời sáng tạo, đi sâu vào khái niệm biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Đây là những kiến thức cơ bản nhưng vô cùng quan trọng để hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến xác suất trong thực tế.

1. Biến cố hợp

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Ký hiệu biến cố hợp là A ∪ B. Để hiểu rõ hơn, ta có thể minh họa bằng sơ đồ Venn. Diện tích biểu diễn biến cố hợp là tổng diện tích của hai biến cố trừ đi diện tích giao của chúng.

2. Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc cộng xác suất cho phép chúng ta tính xác suất của biến cố hợp. Công thức tổng quát là:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B) là xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A) là xác suất của biến cố A
• P(B) là xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B) là xác suất của biến cố giao A ∩ B (biến cố xảy ra đồng thời cả A và B)

3. Các trường hợp đặc biệt của quy tắc cộng xác suất

a. Hai biến cố xung khắc: Nếu hai biến cố A và B không thể xảy ra đồng thời (A ∩ B = ∅), thì chúng được gọi là hai biến cố xung khắc. Trong trường hợp này, P(A ∩ B) = 0, và quy tắc cộng xác suất trở thành:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

b. Hai biến cố độc lập: Nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại, thì chúng được gọi là hai biến cố độc lập. Trong trường hợp này, P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố lấy được ít nhất một quả bóng đỏ. Khi đó, biến cố đối của A là A^c: lấy được cả hai quả bóng xanh.

P(A^c) = (C₃²) / (C₈²) = 3/28

Suy ra, P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố mặt xuất hiện là số chẵn: A = {2, 4, 6}. P(A) = 3/6 = 1/2

Gọi B là biến cố mặt xuất hiện là số chia hết cho 3: B = {3, 6}. P(B) = 2/6 = 1/3

A ∩ B = {6}. P(A ∩ B) = 1/6

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

5. Bài tập áp dụng

1. Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Rút ngẫu nhiên 2 quả. Tính xác suất để 2 quả cùng màu.
2. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7.
3. Một lớp có 20 học sinh, trong đó có 12 nam và 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được 2 nam và 1 nữ.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng thành thạo vào giải các bài toán thực tế. Chúc các em học tốt!