Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số - SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trong chương 3 của sách Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào khái niệm giới hạn của hàm số, một khái niệm then chốt để hiểu về sự liên tục và các phép toán giới hạn trong giải tích. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, ví dụ minh họa và hướng dẫn giải bài tập để giúp học sinh nắm vững kiến thức.

1. Định nghĩa giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới a, ký hiệu là lim_x→a f(x), là giá trị mà f(x) tiến gần tới khi x tiến gần a nhưng không bằng a. Định nghĩa này có thể được hiểu theo hai chiều: khi x tiến tới a từ bên trái và khi x tiến tới a từ bên phải.

2. Các tính chất của giới hạn

• Giới hạn của tổng: lim_x→a [f(x) + g(x)] = lim_x→a f(x) + lim_x→a g(x)
• Giới hạn của tích: lim_x→a [f(x) * g(x)] = lim_x→a f(x) * lim_x→a g(x)
• Giới hạn của thương: lim_x→a [f(x) / g(x)] = lim_x→a f(x) / lim_x→a g(x) (với lim_x→a g(x) ≠ 0)
• Giới hạn của hằng số: lim_x→a c = c (c là hằng số)

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường gặp mà học sinh cần nắm vững:

• Giới hạn vô cùng: lim_x→a f(x) = ∞ hoặc -∞
• Giới hạn tại vô cùng: lim_x→∞ f(x) hoặc lim_x→-∞ f(x)
• Giới hạn của hàm đa thức: lim_x→a P(x) = P(a)
• Giới hạn của hàm hữu tỉ: Cần xét các trường hợp mẫu số bằng 0 hoặc không bằng 0.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_x→2 (x² + 3x - 1)

Giải: Vì hàm số f(x) = x² + 3x - 1 là hàm đa thức, nên ta có thể thay trực tiếp x = 2 vào hàm số để tính giới hạn:

lim_x→2 (x² + 3x - 1) = 2² + 3*2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9

Ví dụ 2: Tính lim_x→1 (x - 1) / (x² - 1)

Giải: Ta có thể phân tích mẫu số thành (x - 1)(x + 1). Khi đó:

lim_x→1 (x - 1) / (x² - 1) = lim_x→1 (x - 1) / [(x - 1)(x + 1)] = lim_x→1 1 / (x + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2

5. Bài tập áp dụng

Dưới đây là một số bài tập để bạn luyện tập:

1. Tính lim_x→3 (2x² - 5x + 1)
2. Tính lim_x→0 (x³ + 2x) / x
3. Tính lim_x→-1 (x + 1) / (x² - 1)

6. Kết luận

Bài 2. Giới hạn của hàm số là một bước quan trọng trong việc xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức giải tích nâng cao. Việc nắm vững định nghĩa, tính chất và các dạng giới hạn thường gặp sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.