Bài 24. Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng

Bài 24: Phép chiếu vuông góc với mặt phẳng - SBT Toán 11 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa phép chiếu vuông góc:

Phép chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm H thuộc (P) sao cho MH vuông góc với (P). Điểm H được gọi là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

2. Tính chất của phép chiếu vuông góc:

• Đường thẳng MH vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P) đi qua H.
• Nếu M' là một điểm bất kỳ trên (P) thì MH ≤ MM'.

3. Điều kiện để đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi d song song với mọi đường thẳng nằm trong (P) đi qua một điểm cố định trên d.

4. Hai đường thẳng vuông góc với cùng một mặt phẳng:

Hai đường thẳng d1 và d2 cùng vuông góc với mặt phẳng (P) thì d1 song song với d2.

5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu của d lên mặt phẳng (P).

6. Bài tập minh họa:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với AC. Do đó, tam giác SAC vuông tại A. Ta có AC = a√2, SA = a. Suy ra tan(∠SCA) = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Vậy ∠SCA = arctan(1/√2). Góc giữa SC và (ABCD) bằng góc SCA.

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c. Tính góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD).

Giải:

Gọi K là hình chiếu của C' lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó K trùng với C. Do đó, AC' là đường chéo của hình hộp chữ nhật. Ta có AC' = √(AC² + CC'²) = √(a² + b² + c²). Góc giữa AC' và (ABCD) là góc giữa AC' và AC, tức là ∠CAC'. Ta có tan(∠CAC') = CC'/AC = c/√(a² + b²). Vậy ∠CAC' = arctan(c/√(a² + b²)).

7. Ứng dụng của phép chiếu vuông góc:

Phép chiếu vuông góc có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
• Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Giải quyết các bài toán về hình học không gian.

8. Luyện tập:

Các em hãy làm thêm các bài tập trong sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đừng quên tham khảo các lời giải chi tiết trên toan11.edu.vn để hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán này.

9. Kết luận:

Bài học về phép chiếu vuông góc với mặt phẳng là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả và chính xác. Chúc các em học tốt!