Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

Trong chương VIII của sách Toán 11 Kết nối tri thức tập 2, chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu về các quy tắc tính xác suất, và Bài 28 đóng vai trò then chốt trong việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản về biến cố. Bài học này giới thiệu ba loại biến cố quan trọng: biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Việc nắm vững các khái niệm này là nền tảng để giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn.

1. Biến cố hợp (Union of Events)

Biến cố hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Nói cách khác, A ∪ B xảy ra nếu A xảy ra, B xảy ra, hoặc cả A và B đều xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố hợp:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Trong đó:

• P(A ∪ B): Xác suất của biến cố hợp A ∪ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B

2. Biến cố giao (Intersection of Events)

Biến cố giao của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∩ B, là biến cố xảy ra khi cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Nói cách khác, A ∩ B chỉ xảy ra khi cả A và B đồng thời xảy ra.

Công thức tính xác suất của biến cố giao:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) = P(B) * P(A|B)

Trong đó:

• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B
• P(B|A): Xác suất của biến cố B xảy ra khi biến cố A đã xảy ra (xác suất có điều kiện)
• P(A|B): Xác suất của biến cố A xảy ra khi biến cố B đã xảy ra (xác suất có điều kiện)

3. Biến cố độc lập (Independent Events)

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Nói cách khác, A và B độc lập nếu việc biết A xảy ra không cung cấp thêm thông tin về khả năng xảy ra của B.

Công thức tính xác suất của biến cố giao của hai biến cố độc lập:

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)

Trong đó:

• P(A ∩ B): Xác suất của biến cố giao A ∩ B
• P(A): Xác suất của biến cố A
• P(B): Xác suất của biến cố B

Ví dụ minh họa

Xét một thí nghiệm tung hai con xúc xắc sáu mặt.

• A: Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6.
• B: Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 1.

Rõ ràng, việc con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 6 không ảnh hưởng đến khả năng con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt 1, và ngược lại. Do đó, A và B là hai biến cố độc lập.

P(A) = 1/6

P(B) = 1/6

P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/6) * (1/6) = 1/36

Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để cả hai quả bóng đều màu đỏ.
2. Một đồng xu được tung hai lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.
3. Hai người độc lập nhau bắn vào một mục tiêu. Người thứ nhất có xác suất bắn trúng là 0.8, người thứ hai có xác suất bắn trúng là 0.7. Tính xác suất để cả hai người đều bắn trúng mục tiêu.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về biến cố hợp, biến cố giao và biến cố độc lập. Chúc các em học tập tốt!