Bài 3. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài 3 trong SGK Toán 11 tập 1 tập trung vào việc tìm hiểu sâu về cấp số nhân, bao gồm định nghĩa, các tính chất quan trọng, và các công thức tính toán liên quan.

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

• Nếu u₁ = a và q là công bội thì số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = a.q^n-1
• Nếu u_n = 0 thì u_k = 0 với mọi k > n.
• Trong một cấp số nhân, nếu biết hai số hạng liên tiếp thì có thể tìm được công bội.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (S_n) được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

S_n = n.u₁ (với q = 1)

1. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n = a.q^n-1.
2. Tìm công bội của cấp số nhân: Chia một số hạng cho số hạng đứng trước nó.
3. Tính tổng của n số hạng đầu tiên: Sử dụng công thức S_n.
4. Ứng dụng cấp số nhân vào giải quyết các bài toán thực tế: Ví dụ như tính lãi kép, tính sự tăng trưởng dân số,...

Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Hãy tìm số hạng thứ 5 và tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Giải:

• Số hạng thứ 5: u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
• Tổng của 5 số hạng đầu tiên: S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(1 - 243) / (-2) = 242

Để nắm vững kiến thức về cấp số nhân, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. toan11.edu.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau, kèm theo đáp án chi tiết để bạn có thể tự kiểm tra và đánh giá kết quả học tập của mình.

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học. Việc hiểu rõ về cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán phức tạp hơn và mở rộng kiến thức của mình.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số nhân. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán 11!