Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép quay và phép đối xứng tâm - SGK Toán 11 Nâng cao

Trong chương trình Hình học lớp 11 nâng cao, phép quay và phép đối xứng tâm đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu về các phép biến hình trong mặt phẳng. Hai phép biến hình này không chỉ là nền tảng cho việc hiểu sâu hơn về hình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác.

I. Phép quay

1. Định nghĩa: Phép quay tâm O với góc α (α đo theo độ, chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và góc xOM’ = xOM + α.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(0; 0) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = xcosα - ysinα

y’ = xsinα + ycosα

II. Phép đối xứng tâm

1. Định nghĩa: Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

2. Tính chất:

• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
• Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ: Nếu M(x; y) và O(a; b) thì M’(x’; y’) được tính bởi:

x’ = 2a - x

y’ = 2b - y

III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép quay tâm O(0; 0) với góc 90° (chiều dương). Tìm tọa độ điểm A’.

Giải:

x’ = 1cos90° - 2sin90° = -2

y’ = 1sin90° + 2cos90° = 1

Vậy A’(-2; 1).

Bài 2: Cho điểm B(3; -1) và phép đối xứng tâm I(1; 2). Tìm tọa độ điểm B’.

Giải:

x’ = 2(1) - 3 = -1

y’ = 2(2) - (-1) = 5

Vậy B’(-1; 5).

IV. Ứng dụng của phép quay và phép đối xứng tâm

Phép quay và phép đối xứng tâm có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

• Trong thiết kế họa tiết trang trí, phép quay và phép đối xứng tâm được sử dụng để tạo ra các hoa văn đẹp mắt và đối xứng.
• Trong kiến trúc, phép quay và phép đối xứng tâm được sử dụng để tạo ra các công trình cân đối và hài hòa.
• Trong đồ họa máy tính, phép quay và phép đối xứng tâm được sử dụng để tạo ra các hiệu ứng hình ảnh đặc biệt.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép quay và phép đối xứng tâm. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải quyết các bài toán thực tế.