Bài 6. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các tính chất của hình và giải quyết các bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự. O được gọi là tâm vị tự.

2. Tính chất của phép vị tự

• Phép vị tự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép vị tự bảo toàn góc.
• Phép vị tự biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
• Phép vị tự biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép vị tự tâm O(a, b) tỉ số k biến điểm M(x, y) thành điểm M’(x’, y’) thì:

x’ = a + k(x - a)

y’ = b + k(y - b)

4. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong hình học, bao gồm:

• Chứng minh sự đồng dạng của hai hình.
• Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và kích thước của các hình.
• Xây dựng các hình tương tự.

5. Bài tập ví dụ minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = 2.

Giải:

• A’(0, 0)
• B’(2, 0)
• C’(0, 2)

Bài 2: Cho đường tròn (C) có tâm I(1, 2) bán kính R = 3. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm O(0, 0) tỉ số k = -1.

Giải:

• I’(-1, -2)
• R’ = |-1| * 3 = 3

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có tâm I’(-1, -2) bán kính R’ = 3.

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Hãy tìm các bài tập trong SGK Toán 11 Nâng cao và các tài liệu tham khảo khác để luyện tập. Đồng thời, hãy xem lại các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến phép vị tự để đảm bảo bạn hiểu rõ và có thể áp dụng chúng một cách linh hoạt.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép vị tự. Chúc bạn học tập tốt!