Bài 7. Cấp Số Nhân

Bài 7. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Chào mừng bạn đến với bài học số 7 chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Bài học này tập trung vào kiến thức về cấp số nhân, một trong những dãy số quan trọng trong toán học.

Chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu định nghĩa, các tính chất, công thức tổng quát và ứng dụng của cấp số nhân trong giải quyết các bài toán thực tế.

Toan11.edu.vn cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức về cấp số nhân.

Bài 7. Cấp số nhân - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số không đổi gọi là công bội. Bài viết này sẽ đi sâu vào lý thuyết, công thức và các bài tập liên quan đến cấp số nhân trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = -1 thì dãy số có tính chất tuần hoàn với chu kỳ 2.

3. Công thức tổng quát của cấp số nhân

Số hạng tổng quát của cấp số nhân (u_n) được tính theo công thức:

u_n = u₁.q^n-1

Trong đó:

u₁ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
q là công bội của cấp số nhân.
n là số thứ tự của số hạng cần tìm.

4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Tổng S_n của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:

S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) (với q ≠ 1)

Nếu q = 1 thì S_n = n.u₁

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 3. Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân.

Giải:

u₅ = u₁.q^5-1 = 2.3⁴ = 2.81 = 162

Bài 2: Cho cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 1 và tổng của 4 số hạng đầu tiên là 15. Tính công bội q.

Giải:

S₄ = u₁.(1 - q⁴) / (1 - q) = 15

(1 - q⁴) / (1 - q) = 15

1 - q⁴ = 15(1 - q)

q⁴ - 15q + 14 = 0

(q - 1)(q³ + q² + q - 14) = 0

q = 1 (loại vì q ≠ 1) hoặc q ≈ 2.17

6. Ứng dụng của cấp số nhân

Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tính lãi kép trong ngân hàng.
Tính sự tăng trưởng dân số.
Tính sự phân rã của các chất phóng xạ.

7. Kết luận

Bài 7. Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Việc nắm vững lý thuyết, công thức và các bài tập vận dụng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số nhân một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cấp số nhân.