Bài 1. Giá Trị Lượng Giác Của Một Góc Từ 0 Đến 180. Định Lí Cosin Và Định Lí Sin Trong Tam Giác

Chào mừng bạn đến với bài học quan trọng trong chương trình Toán 10 - Cánh diều! Bài học này tập trung vào việc tìm hiểu về giá trị lượng giác của các góc từ 0 đến 180 độ, cùng với hai định lý cơ bản trong hình học: định lý cosin và định lý sin.

Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm, công thức và ứng dụng thực tế của chúng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Hãy sẵn sàng để nắm vững kiến thức nền tảng này nhé!

Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí cosin và định lí sin trong tam giác - Giải chi tiết

I. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ

Trong hình học, giá trị lượng giác của một góc là tỷ số giữa các cạnh của một tam giác vuông. Đối với góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các giá trị lượng giác cơ bản sau:

Sin α (sin): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền.
Cosin α (cos): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
Tang α (tan): Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề.
Cotang α (cot): Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối.

Lưu ý:

0° ≤ α ≤ 90°: Tất cả các giá trị lượng giác đều dương.
90° < α ≤ 180°: Sin α dương, cos α, tan α, cot α âm.

II. Định lý cosin

Định lý cosin là một công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác không vuông. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a² = b² + c² - 2bc.cosA
b² = a² + c² - 2ac.cosB
c² = a² + b² - 2ab.cosC

Ứng dụng:

Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn lại và góc xen giữa.
Tính góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh.

III. Định lý sin

Định lý sin cũng là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác. Định lý phát biểu như sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

a/sinA = b/sinB = c/sinC

Ứng dụng:

Tính độ dài một cạnh khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.
Tính góc của tam giác khi biết độ dài một cạnh và các góc đối diện.

IV. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 8cm, góc A = 60°. Tính độ dài cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lý cosin, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

BC² = 5² + 8² - 2.5.8.cos60°

BC² = 25 + 64 - 80.0.5 = 49

BC = √49 = 7cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 7cm, góc B = 45°, góc C = 60°. Tính độ dài cạnh AB.

Giải:

Áp dụng định lý sin, ta có:

AB/sinC = BC/sinA

Góc A = 180° - (B + C) = 180° - (45° + 60°) = 75°

AB/sin60° = 7/sin75°

AB = (7.sin60°)/sin75° ≈ 6.44cm

V. Kết luận

Bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ, định lý cosin và định lý sin. Việc nắm vững những kiến thức này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học trong chương trình Toán 10 và các chương trình học cao hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!