Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số - SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trong sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo tập trung vào việc giới thiệu khái niệm giới hạn của dãy số, một khái niệm then chốt trong chương trình giải tích. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, chúng ta sẽ đi qua các phần sau:

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu khi n tiến tới vô cùng, các số hạng của dãy số tiến gần đến L. Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L. Điều này có nghĩa là, với mọi số dương ε (epsilon) nhỏ tùy ý, tồn tại một số nguyên dương N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε.

2. Các tính chất của giới hạn

• Giới hạn của một tổng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Giới hạn của một hiệu: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Giới hạn của một tích: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại).
• Giới hạn của một thương: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai giới hạn đều tồn tại và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

3. Các dạng giới hạn thường gặp

Có một số dạng giới hạn thường gặp mà bạn cần nắm vững:

• Giới hạn của dãy số không đổi: lim_n→∞ c = c (với c là một hằng số).
• Giới hạn của dãy số 1/n: lim_n→∞ (1/n) = 0.
• Giới hạn của dãy số căn bậc n: lim_n→∞ⁿ√a = 1 (với a > 0).

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1). Áp dụng tính chất giới hạn của một tổng, ta có: lim_n→∞ (2n + 1) = lim_n→∞ 2n + lim_n→∞ 1 = ∞ + 1 = ∞. Vậy dãy số (2n + 1) không có giới hạn hữu hạn.

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1/n²). Vì lim_n→∞ (1/n) = 0, suy ra lim_n→∞ (1/n²) = 0.

5. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:

1. Tính lim_n→∞ (3n - 5).
2. Tính lim_n→∞ (1/(n+1)).
3. Tính lim_n→∞ (ⁿ√2).

6. Lưu ý quan trọng

Khi tính giới hạn của dãy số, cần chú ý đến các tính chất của giới hạn và các dạng giới hạn thường gặp. Ngoài ra, cần kiểm tra xem các điều kiện để áp dụng các tính chất giới hạn có được thỏa mãn hay không.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Chúc bạn học tốt!