Bài 15. Giới hạn của dãy số

Bài 15. Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Dãy số là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn các số được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Giới hạn của dãy số là giá trị mà các số hạng của dãy số tiến tới khi số thứ tự của chúng tăng lên vô hạn.

I. Định nghĩa giới hạn của dãy số

Một dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn L nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N, ta có |u_n - L| < ε.

Ký hiệu: lim_n→∞ u_n = L

II. Các tính chất của giới hạn dãy số

• Tính duy nhất: Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
• Tính chất cộng: lim_n→∞ (u_n + v_n) = lim_n→∞ u_n + lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất trừ: lim_n→∞ (u_n - v_n) = lim_n→∞ u_n - lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất nhân: lim_n→∞ (u_n * v_n) = lim_n→∞ u_n * lim_n→∞ v_n (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn).
• Tính chất chia: lim_n→∞ (u_n / v_n) = (lim_n→∞ u_n) / (lim_n→∞ v_n) (nếu cả hai dãy số đều có giới hạn và lim_n→∞ v_n ≠ 0).

III. Các dạng giới hạn thường gặp

1. Dãy số không đổi: Nếu u_n = a với mọi n, thì lim_n→∞ u_n = a.
2. Dãy số có dạng 1/n: lim_n→∞ (1/n) = 0.
3. Dãy số có dạng qⁿ:
   • Nếu |q| < 1 thì lim_n→∞ qⁿ = 0.
   • Nếu q = 1 thì lim_n→∞ qⁿ = 1.
   • Nếu |q| > 1 thì lim_n→∞ qⁿ = ∞ (hoặc -∞ tùy thuộc vào dấu của q).

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3)

Giải: Ta có:

lim_n→∞ (2n + 1) / (n - 3) = lim_n→∞ (2 + 1/n) / (1 - 3/n) = (2 + 0) / (1 - 0) = 2

Ví dụ 2: Tính lim_n→∞ (1/2)ⁿ

Giải: Vì |1/2| < 1, nên lim_n→∞ (1/2)ⁿ = 0

V. Bài tập vận dụng

1. Tính lim_n→∞ (3n - 2) / (n + 1)

2. Tính lim_n→∞ (5/2)ⁿ

3. Tính lim_n→∞ (n² + 1) / (2n² - 3)

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về giới hạn của dãy số. Chúc các em học tập tốt!