Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 11. Bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm của hàm số.
Tại toan11.edu.vn, chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu cho Bài 5.3 trang 109, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi a) ({u_n} = frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}) b) ({v_n} = sqrt {2{n^2} + 1} - n)
Đề bài
Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi
a) \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\)
b) \({v_n} = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\)
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Chia cả tử và mẫu cho \({x^n}\), với n là bạc cao nhất.
b, Nhân với biểu thức liên hợp \(\left( {\sqrt A - B} \right).\left( {\sqrt A + B} \right) = A - {B^2}\).
Lời giải chi tiết
a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 1}}{{2n - 1}}\; = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}}}\)
Ta có: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 1,\;\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\; = 0\)
Suy ra \({u_n}\; = + \infty \)
b) \({v_n}\; = \sqrt {2{n^2} + 1} - n\; = \frac{{2{n^2} + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {2{n^2} + 1} + n }}\; = \frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}\left( {\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} } \right)}} = \frac{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt {\frac{2}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^4}}} }+ \frac{1}{n} }}\;\; = + \infty \)
Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm:
Định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0 là giới hạn của tỷ số giữa độ biến thiên của hàm số và độ biến thiên của đối số khi đối số tiến tới x0.
Các quy tắc tính đạo hàm: Quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, quy tắc đạo hàm của hàm hợp.
Đạo hàm của các hàm số cơ bản: Đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác.
Nội dung bài tập: Bài 5.3 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Tính đạo hàm của hàm số: Yêu cầu học sinh tính đạo hàm của một hàm số cho trước tại một điểm hoặc trên một khoảng.
Tìm đạo hàm của hàm số: Yêu cầu học sinh tìm đạo hàm của một hàm số, tức là tìm một hàm số mới biểu diễn đạo hàm của hàm số ban đầu.
Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế: Yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, tối ưu hóa, v.v.
Hướng dẫn giải bài tập:
Để giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức, học sinh cần thực hiện các bước sau:
Đọc kỹ đề bài: Xác định rõ yêu cầu của bài tập, các dữ kiện đã cho và các kết quả cần tìm.
Chọn phương pháp giải phù hợp: Dựa vào yêu cầu của bài tập, chọn phương pháp giải phù hợp, chẳng hạn như sử dụng định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm hoặc các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản.
Thực hiện các phép tính: Thực hiện các phép tính một cách cẩn thận và chính xác, đảm bảo không bỏ sót bất kỳ bước nào.
Kiểm tra lại kết quả: Sau khi giải xong bài tập, hãy kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác và hợp lý.
Ví dụ minh họa:
Giả sử bài tập yêu cầu tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 + 2x + 1 tại điểm x = 1. Ta có thể giải bài tập này như sau:
f'(x) = 2x + 2
f'(1) = 2(1) + 2 = 4
Vậy, đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x = 1 là 4.
Lưu ý:
Khi tính đạo hàm, cần chú ý đến các quy tắc tính đạo hàm và các công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản.
Khi giải các bài toán ứng dụng đạo hàm, cần hiểu rõ ý nghĩa vật lý của đạo hàm và cách sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Nên luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.
Tài liệu tham khảo:
Sách giáo khoa Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Sách bài tập Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Các trang web học Toán online uy tín
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải Bài 5.3 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
Stay updated with the latest technology news, learn new skills with our how-to guides, and discover your next favorite film or album. Explore now!
Khám phá 'Sự Cứu Rỗi Của Thánh Nữ' của Higashino Keigo - một vụ án mạng phức tạp, xoay quanh những bí mật đen tối và góc khuất tâm lý. Đọc ngay để hiểu rõ hơn về sự thật rùng rợn!
Tìm hiểu về Fractal, một khái niệm hình học độc đáo. Bài viết này sẽ hé lộ những điều thú vị về Fractal mà bạn chưa từng biết! Khám phá ngay!
Giải mã paradox - hiện tượng tưởng chừng vô nghĩa nhưng chứa đựng triết lý sâu sắc. Khám phá các loại paradox phổ biến và ứng dụng bất ngờ của chúng! Click để tìm hiểu!
Đắm chìm vào thế giới trinh thám đầy u ám của 'Tên của trò chơi là bắt cóc'. Phân tích sâu về tâm lý nhân vật, ranh giới thiện ác mong manh và những bí mật bị che giấu. Liệu bạn có dám đối mặt với sự thật khi ai cũng là kẻ ác? Khám phá ngay!
Khám phá phương pháp độc đáo giúp con tự tin giải quyết bài tập Toán nâng cao lớp 1. Xem ngay lời giải chi tiết, dễ hiểu và các mẹo học tập hiệu quả! Đừng bỏ lỡ!
