Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác - SGK Toán 8 - Kết nối tri thức

1. Khái niệm đường phân giác của tam giác

Trong một tam giác, đường phân giác của một góc là đoạn thẳng nối đỉnh của góc đó với điểm chia đôi cạnh đối diện. Ví dụ, trong tam giác ABC, đường phân giác của góc A là đoạn thẳng AD, với D là trung điểm của BC.

2. Tính chất đường phân giác của tam giác

Tính chất quan trọng nhất của đường phân giác là: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó.

Cụ thể, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A thì:

BD/CD = AB/AC

3. Chứng minh tính chất đường phân giác

Để chứng minh tính chất này, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh bằng tam giác đồng dạng. Xét tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc A. Kẻ đường thẳng song song với AC qua D, cắt AB tại E.

Khi đó, ta có:

• ED // AC (theo cách kẻ)
• ∠EAD = ∠DAC (do AD là đường phân giác)
• ∠ADE = ∠DAC (so le trong)

Suy ra ∠EAD = ∠ADE, do đó tam giác ADE cân tại A, tức là AE = DE.

Xét tam giác BDE và tam giác BAC, ta có:

• ∠B chung
• ED // AC (theo cách kẻ)
• Suy ra tam giác BDE đồng dạng với tam giác BAC (theo trường hợp góc - góc)

Từ đó, ta có tỉ lệ thức: BD/BC = DE/AC. Mà DE = AE, nên BD/BC = AE/AC. Do D là trung điểm của BC, nên BC = 2BD. Thay vào tỉ lệ thức trên, ta được: BD/(2BD) = AE/AC, suy ra 1/2 = AE/AC, hay AC = 2AE. Tuy nhiên, cách chứng minh này có một số sai sót. Cách chứng minh đúng hơn sử dụng định lý Thales.

4. Ứng dụng của tính chất đường phân giác

Tính chất đường phân giác được ứng dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là các bài toán về tỉ lệ thức. Ví dụ:

• Tính độ dài các đoạn thẳng: Cho tam giác ABC, biết AB = 5cm, AC = 7cm, và AD là đường phân giác của góc A, với BD = 3cm. Tính CD.
• Chứng minh các đẳng thức: Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A. Chứng minh rằng AB/AC = BD/CD.

5. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC, AB = 6cm, AC = 9cm, BC = 10cm. AD là đường phân giác của góc A. Tính BD và CD.

Bài 2: Cho tam giác ABC, AD là đường phân giác của góc A. Biết BD = 4cm, CD = 6cm. Tính AB và AC, biết AB + AC = 15cm.

6. Lưu ý quan trọng

Khi áp dụng tính chất đường phân giác, cần chú ý:

• Đảm bảo rằng AD là đường phân giác của góc A.
• Sử dụng đúng tỉ lệ thức: BD/CD = AB/AC.
• Kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.

7. Tổng kết

Bài học về tính chất đường phân giác của tam giác là một kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 8. Việc nắm vững kiến thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán nhé!

Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những thông tin hữu ích và đầy đủ về Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác - SGK Toán 8 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!