Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Bài 2. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp - SGK Toán 12 - Cánh diều

I. Khái niệm Nguyên hàm

Trong chương trình giải tích, nguyên hàm đóng vai trò vô cùng quan trọng. Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) sao cho đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Ký hiệu nguyên hàm của f(x) là ∫f(x)dx.

Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau ở một hằng số cộng. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.

II. Các tính chất của Nguyên hàm

1. Tính chất 1: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
2. Tính chất 2: ∫k.f(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)
3. Tính chất 3: ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó F'(x) = f(x)

III. Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

1. Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)

2. Nguyên hàm của hàm số 1/x

∫(1/x)dx = ln|x| + C

3. Nguyên hàm của hàm số e^x

∫e^xdx = e^x + C

4. Nguyên hàm của hàm số a^x

∫a^xdx = (a^x)/ln(a) + C (với a > 0 và a ≠ 1)

5. Nguyên hàm của hàm số sin(x)

∫sin(x)dx = -cos(x) + C

6. Nguyên hàm của hàm số cos(x)

∫cos(x)dx = sin(x) + C

IV. Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính ∫x²dx

Giải: ∫x²dx = (x³)/3 + C

Bài 2: Tính ∫(2x + 1)dx

Giải: ∫(2x + 1)dx = ∫2xdx + ∫1dx = 2∫xdx + ∫1dx = 2(x²/2) + x + C = x² + x + C

Bài 3: Tính ∫e^3xdx

Giải: Đặt u = 3x, du = 3dx => dx = du/3

∫e^3xdx = ∫e^u(du/3) = (1/3)∫e^udu = (1/3)e^u + C = (1/3)e^3x + C

V. Kết luận

Bài học hôm nay đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, các tính chất và cách tìm nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để các em học tốt các bài học tiếp theo về tích phân và ứng dụng của tích phân trong giải quyết các bài toán thực tế.

Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình. Chúc các em học tốt!