Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 21 trong sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh làm quen với việc sử dụng phương pháp tọa độ để giải quyết các bài toán hình học.

I. Phương trình đường tròn

Phương trình tổng quát của đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R là: (x - a)² + (y - b)² = R². Để xác định một đường tròn, chúng ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của nó. Việc tìm tâm và bán kính từ phương trình đường tròn cũng là một kỹ năng quan trọng.

II. Các dạng phương trình đường tròn

Ngoài phương trình tổng quát, đường tròn còn có thể được biểu diễn bằng các dạng phương trình khác, như:

• Phương trình chính tắc: (x - a)² + (y - b)² = R²
• Phương trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ: x² + y² = R²

III. Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

Một phương trình bậc hai đối với x và y có dạng Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi:

• A = B
• C² + D² - 4AE > 0

IV. Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn

Để xác định vị trí tương đối giữa một điểm M(x₀; y₀) và đường tròn (x - a)² + (y - b)² = R², ta tính khoảng cách d từ M đến tâm I(a; b) của đường tròn:

• Nếu d < R: Điểm M nằm bên trong đường tròn.
• Nếu d = R: Điểm M nằm trên đường tròn.
• Nếu d > R: Điểm M nằm bên ngoài đường tròn.

V. Phương trình đường thẳng và đường tròn

Để xác định giao điểm của đường thẳng và đường tròn, ta giải hệ phương trình gồm phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn. Số nghiệm của hệ phương trình cho biết số giao điểm của đường thẳng và đường tròn:

• Hệ có hai nghiệm phân biệt: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
• Hệ có một nghiệm kép: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• Hệ vô nghiệm: Đường thẳng không cắt đường tròn.

VI. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn có phương trình (x - 2)² + (y + 3)² = 16.

Giải: Tâm của đường tròn là I(2; -3) và bán kính R = √16 = 4.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(1; -2) và đi qua điểm A(3; 1).

Giải: Bán kính R = IA = √((3 - 1)² + (1 - (-2))²) = √(4 + 9) = √13. Phương trình đường tròn là (x - 1)² + (y + 2)² = 13.

VII. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức cung cấp một loạt các bài tập với nhiều mức độ khó khác nhau, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức đã học.

Hãy dành thời gian ôn tập lý thuyết, xem các ví dụ minh họa và tự giải các bài tập. Nếu gặp khó khăn, đừng ngần ngại hỏi thầy cô hoặc bạn bè để được giúp đỡ.

Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!