Bài 29. Công thức cộng xác suất

Bài 29 trong chương trình Toán 11 - Kết nối tri thức tập 2 tập trung vào việc giới thiệu và ứng dụng công thức cộng xác suất. Đây là một trong những công thức cơ bản và quan trọng nhất trong lý thuyết xác suất, giúp chúng ta tính xác suất của một biến cố khi nó có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau.

1. Khái niệm về biến cố độc lập và biến cố xung khắc

Trước khi đi sâu vào công thức cộng xác suất, chúng ta cần hiểu rõ hai khái niệm quan trọng: biến cố độc lập và biến cố xung khắc.

• Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại. Công thức: P(A và B) = P(A) * P(B)
• Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra đồng thời. Công thức: P(A và B) = 0

2. Công thức cộng xác suất

Công thức cộng xác suất được sử dụng để tính xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra (A∪B). Công thức có hai dạng tùy thuộc vào việc A và B có phải là biến cố xung khắc hay không:

• Nếu A và B là biến cố xung khắc: P(A∪B) = P(A) + P(B)
• Nếu A và B không xung khắc: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Trong đó:

• P(A∪B) là xác suất của biến cố A hoặc B xảy ra.
• P(A) là xác suất của biến cố A xảy ra.
• P(B) là xác suất của biến cố B xảy ra.
• P(A∩B) là xác suất của biến cố A và B xảy ra đồng thời.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất một quả bóng đỏ.

Giải:

Gọi A là biến cố “lấy được ít nhất một quả bóng đỏ”. Khi đó, biến cố đối của A là A’ = “lấy được cả hai quả bóng xanh”.

Ta có: P(A’) = (C₃²) / (C₈²) = 3/28

Suy ra: P(A) = 1 - P(A’) = 1 - 3/28 = 25/28

Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để mặt xuất hiện là số chẵn hoặc số chia hết cho 3.

Giải:

Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “mặt xuất hiện là số chia hết cho 3”.

Ta có: A = {2, 4, 6} và B = {3, 6}

P(A) = 3/6 = 1/2

P(B) = 2/6 = 1/3

A∩B = {6}

P(A∩B) = 1/6

Suy ra: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3

4. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về công thức cộng xác suất, các em có thể tự giải các bài tập sau:

1. Một túi đựng 4 quả bóng trắng, 3 quả bóng đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất để lấy được 2 quả bóng cùng màu.
2. Gieo hai con xúc xắc 6 mặt một lần. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc là 7.
3. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi môn Toán và 8 học sinh giỏi môn Văn. Có 5 học sinh giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn.

5. Kết luận

Bài 29 đã cung cấp cho chúng ta những kiến thức cơ bản về công thức cộng xác suất và cách ứng dụng nó trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững công thức này là rất quan trọng để hiểu sâu hơn về lý thuyết xác suất và có thể áp dụng nó vào nhiều lĩnh vực khác nhau.

Hy vọng rằng với những giải thích chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em đã hiểu rõ về bài học này. Chúc các em học tập tốt!