Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm - SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Bài 32 trong chương IX của sách Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức tập trung vào việc trang bị cho học sinh những công cụ cần thiết để tính đạo hàm một cách hiệu quả. Đạo hàm là một khái niệm nền tảng trong giải tích, và việc nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ biến thiên, cực trị của hàm số và nhiều ứng dụng khác.

1. Quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu

Quy tắc này khẳng định rằng đạo hàm của một tổng (hoặc hiệu) của các hàm số bằng tổng (hoặc hiệu) của các đạo hàm của từng hàm số thành phần. Công thức được biểu diễn như sau:

(u ± v)' = u' ± v'

Trong đó, u và v là các hàm số khả vi, u' và v' là đạo hàm của u và v tương ứng.

2. Quy tắc đạo hàm của một tích

Quy tắc này cho phép chúng ta tính đạo hàm của tích của hai hàm số. Công thức được biểu diễn như sau:

(uv)' = u'v + uv'

Trong đó, u và v là các hàm số khả vi, u' và v' là đạo hàm của u và v tương ứng.

3. Quy tắc đạo hàm của một thương

Quy tắc này được sử dụng để tính đạo hàm của thương của hai hàm số. Công thức được biểu diễn như sau:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

Trong đó, u và v là các hàm số khả vi, u' và v' là đạo hàm của u và v tương ứng, và v ≠ 0.

4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Đây là quy tắc quan trọng nhất và thường được sử dụng nhất trong việc tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Quy tắc này khẳng định rằng đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm ngoài nhân với đạo hàm của hàm trong. Công thức được biểu diễn như sau:

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)

Trong đó, f và g là các hàm số khả vi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x² + 3x - 5

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu, ta có:

y' = (x²)' + (3x)' - (5)' = 2x + 3 + 0 = 2x + 3

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = x * sin(x)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích, ta có:

y' = (x)' * sin(x) + x * (sin(x))' = 1 * sin(x) + x * cos(x) = sin(x) + xcos(x)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 1) / (x - 1)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương, ta có:

y' = [(x + 1)' * (x - 1) - (x + 1) * (x - 1)'] / (x - 1)² = [1 * (x - 1) - (x + 1) * 1] / (x - 1)² = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)² = -2 / (x - 1)²

Bài tập vận dụng

1. Tính đạo hàm của hàm số y = 4x³ - 2x² + x + 1
2. Tính đạo hàm của hàm số y = (x² + 1) * cos(x)
3. Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x) / x
4. Tính đạo hàm của hàm số y = (2x + 1)³

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các quy tắc tính đạo hàm và áp dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài toán cụ thể. Hãy nhớ rằng, đạo hàm là một công cụ mạnh mẽ trong giải tích, và việc nắm vững nó sẽ mở ra cánh cửa cho các em khám phá những ứng dụng thú vị của toán học trong cuộc sống.