Bài 5: Khoảng cách

Bài 5: Khoảng cách - SGK Toán 11 Nâng cao

Bài 5: Khoảng cách trong chương trình Toán 11 Nâng cao là một phần quan trọng của chương III: Vectơ trong không gian, đặc biệt liên quan đến quan hệ vuông góc. Bài học này cung cấp các công cụ và phương pháp để tính toán khoảng cách trong không gian, một kỹ năng cần thiết cho việc giải quyết các bài toán hình học phức tạp.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Cho điểm M(x₀, y₀, z₀) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. Khoảng cách d từ M đến (P) được tính theo công thức:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Chọn một điểm M thuộc d₁. Khoảng cách giữa d₁ và d₂ là khoảng cách từ M đến d₂.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂. Khoảng cách giữa d₁ và d₂ được tính bằng công thức:

d = |[ (a₁ x a₂) . (M₁M₂) ]| / ||a₁ x a₂||

Trong đó:

• a₁, a₂ là vectơ chỉ phương của d₁ và d₂.
• M₁ là một điểm thuộc d₁, M₂ là một điểm thuộc d₂.

II. Phương pháp giải bài tập

1. Xác định các yếu tố cần thiết:

Đọc kỹ đề bài để xác định điểm, mặt phẳng, đường thẳng và các thông số liên quan (tọa độ, vectơ chỉ phương, phương trình mặt phẳng).

2. Áp dụng công thức:

Chọn công thức phù hợp với từng dạng bài tập (khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau).

3. Thực hiện tính toán:

Thay các giá trị đã xác định vào công thức và thực hiện các phép tính toán một cách cẩn thận.

4. Kiểm tra kết quả:

Kiểm tra lại các bước tính toán và đảm bảo kết quả cuối cùng hợp lý.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(1, 2, 3) đến mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.

Giải:

d = |2(1) - 2 + 3 + 1| / √(2² + (-1)² + 1²) = |4| / √6 = 4/√6 = (4√6)/6 = (2√6)/3

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng song song d₁: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 3 + t và d₂: x = 2 + t, y = 3 + t, z = 4 + t. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.

Giải:

Chọn điểm M(1, 2, 3) thuộc d₁. Phương trình mặt phẳng chứa d₂ và vuông góc với d₁ là: (x - 2) - (y - 3) + (z - 4) = 0 hay x - y + z - 3 = 0.

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng này là: d = |1 - 2 + 3 - 3| / √3 = |-1| / √3 = 1/√3 = √3/3

IV. Bài tập luyện tập

1. Tính khoảng cách từ điểm B(-1, 0, 2) đến mặt phẳng (Q): x + 2y - 2z + 5 = 0.
2. Cho hai đường thẳng song song d₁: x = t, y = 1 + t, z = 2t và d₂: x = 1 + t, y = 2 + t, z = 1 + 2t. Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d₁: x = t, y = t, z = t và d₂: x = 1 + t, y = 1 - t, z = 2t.

Bài 5: Khoảng cách là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững lý thuyết và phương pháp giải bài tập sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán hình học không gian.