Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit

Bài 5. Phương trình và bất phương trình lôgarit - SGK Toán 11

Bài 5 trong chương trình Toán 11 tập 2, thuộc Chương VI: Hàm số mũ và hàm số lôgarit, tập trung vào việc giải quyết các phương trình và bất phương trình chứa lôgarit. Đây là một phần kiến thức quan trọng, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các tính chất của lôgarit và các phương pháp giải phù hợp.

I. Lý thuyết cơ bản

1. Phương trình lôgarit: Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Để giải phương trình lôgarit, ta thường sử dụng các tính chất của lôgarit để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, sau đó tìm ra nghiệm.

2. Bất phương trình lôgarit: Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức lôgarit. Việc giải bất phương trình lôgarit cũng tương tự như giải phương trình lôgarit, nhưng cần chú ý đến điều kiện xác định của lôgarit và chiều của bất đẳng thức khi bỏ cơ số.

II. Các dạng phương trình lôgarit thường gặp

1. Dạng log_af(x) = b: Giải phương trình này bằng cách chuyển về dạng f(x) = a^b, sau đó giải phương trình đại số thu được.
2. Dạng log_af(x) = log_ag(x): Giải phương trình này bằng cách suy ra f(x) = g(x) (với điều kiện f(x) > 0, g(x) > 0 và a > 0, a ≠ 1).
3. Dạng log_a[f(x)g(x)] = log_af(x) + log_ag(x): Sử dụng tính chất của lôgarit để đơn giản hóa phương trình.

III. Các dạng bất phương trình lôgarit thường gặp

1. Dạng log_af(x) > b: Giải bất phương trình này bằng cách chuyển về dạng f(x) > a^b (nếu a > 1) hoặc f(x) < a^b (nếu 0 < a < 1).
2. Dạng log_af(x) > log_ag(x): Giải bất phương trình này bằng cách suy ra f(x) > g(x) (nếu a > 1) hoặc f(x) < g(x) (nếu 0 < a < 1), với điều kiện f(x) > 0, g(x) > 0 và a > 0, a ≠ 1.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình log₂(x + 1) = 3

Giải: x + 1 = 2³ => x + 1 = 8 => x = 7. Kiểm tra điều kiện: x + 1 > 0 => x > -1. Vậy nghiệm của phương trình là x = 7.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình log_1/2(2x - 1) > 1

Giải: 2x - 1 < (1/2)¹ => 2x - 1 < 1/2 => 2x < 3/2 => x < 3/4. Kiểm tra điều kiện: 2x - 1 > 0 => x > 1/2. Vậy nghiệm của bất phương trình là 1/2 < x < 3/4.

V. Bài tập luyện tập

• Giải phương trình: log₃(x² - 4x + 3) = 1
• Giải bất phương trình: log₂(x - 2) < 3
• Tìm điều kiện xác định của phương trình: log₅(x + 2) + log₅(x - 1) = 0

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về phương trình và bất phương trình lôgarit. Chúc các em học tập tốt!